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V. BOUNI АКО WSKY, 
rencontrent pas , ont nécessairement une base. Soient LL' et MM' (fig. 6) ces deux 
droites; d'un point arbitraire Ѣ pris sur LL' ou MM', sur MM' par exemple, abais- 
sons la perpendiculaire ѢА sur LL'\ il arrivera de deux choses l'une: les angles ABM 
et ABM' seront égaux ou inégaux entr'eux; dans le premier cas AB sera la base des 
deux parallèles LL' et MM': dans le second, l'un des deux angles ABM ou ABM', 
АВМщѵ exemple, sera aigu. Dans ce second cas, le seul à considérer, nous abais- 
serons du point A la perpendiculaire AB' sur MM', puis la perpendiculaire B^A! sur 
LL', A'B" sur MM' et ainsi de suite. Cette série de perpendiculaires, en vertu de la 
propriété bien connue des obliques, ira en diminuant de grandeur, et en convergeant 
non vers zéro^ comme pour les droites qui se rencontrent, mais vers une limite fixe 
PQ qui ne sera autre chose que la base des droites parallèles LL' et MM'. On par- 
vient ainsi à la proposition suivante: 
g) Deux droites situées dans un même plan, et qui ne se rencontrent pas , ont toujours une 
base^ et seulement une seule. 
Présentons maintenant quelques exemples des dissemblances essentielles qui existent 
entre les constructions de la Géométrie non-euclidienne et celles de leurs analogues dans 
la Géométrie usitée. Il arrive que les singularités étranges auxquelles on est conduit en 
niant, soit le postulatum d'Euclide, soit toute autre proposition qui le remplace, contre- 
disent tellement le témoignage de nos sens, qu'il devient quelquefois presqu'impossible 
de réaliser, même approximativement, les exigences de ces bizares constructions. Pour 
faciliter la comparaison des figures explicatives qui vont suivre, nous nous sommes servi 
des deux alphabets, latin et grec: les lettres latines sont affectées aux conceptions de la 
Géométrie ordinaire, et les lettres grecques à celles de la Géométrie non-euclidienne. 
Soient uiB (fig. 7) la base des deux parallèles AIj et B3f et С le milieu de AB; éle- 
vons CD perpendiculairement à AB, et menons ensuite par un point arbitraire D la droite 
£JF perpendiculaire à CD; dans la Géométrie ordinaire cette perpendiculaire rencontrera 
toujours les deux parallèles AL et B3I; supposons que E et F soient les points de 
rencontre. 
Il en est autrement dans la Géométrie non -• euclidienne : la droite EDF ne pouvant 
couper ni la base AB prolongée, ni les parallèles AL et BM (proposition d), devra affecter 
une forme approchant de a'aDßß' (fig. 7'), et sera parallèle à toutes les trois droites AB, 
AL et BM; CD sera sa base relativement à sa parallèle AB, aa relativement à AL et &ß 
relativement à BM (proposition g). On obtiendra ainsi l'hexagone AaaD^bB, dont les six 
angles en A, a, CL. b et В seront droits; ce résultat est en contradiction manifeste avec 
nos notions sur les polygones; de plus, nous ne saurions concevoir, comment les droites aa 
et &ß, perpendiculaires aux parallèles AL et BM, et allant l'une à la rencontre de l'autre, 
peuvent être coupées à angles droits par la ligne droite aaZ)ßß'. 
La dissemblance des figures devient encore plus sensible, lorsque l'on a égard à la 
