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CONSIDÉEATIONS SUR QUELQUES SINGULARITÉS ETC. ■ 9 
condition exigée par les conceptions non-enclidicnnes, consistant en ce que les deux pa- 
rallèles ÄL et BM doivent aller en s'cvasanf ou en s'éloignant entre elles à partir de la 
base, et cela dans les deux sens; alors, au lieu de la figure 7', on obtient la figure 7". 
Voici une construction analogue à celle que représente la figure 7". Supposons que 
l'on ait deux couples de parallèles ЕЕ', FF' et EF, E'F' (fig. 8) qui se coupent à angles 
droits. Soit ЛБ la base du premier couple, et DB' celle du second; pour la symétrie de 
la figure supposons AG= CB=CD= CD'. Raisonnant dans le sens des non -euclidiens, 
cette figure 8 devra être remplacée par la figure 8' bien différente, comme on le voit, de 
celle dont elle doit tenir lieu. Pour faciliter la comparaison et la correspondance des deux 
figures 8 et 8', nous avons affecté, comme plus haut, les lettres de l'alphabet grec aux 
constructions non- euclidiennes, et, de plus, nous avons marqué les angles droits par de 
petits arcs. 
On pourrait varier h l'infini les exemples de la dissemblance des figures construites 
suivant les conceptions des deux Géométries. Les figures les plus simples , telles que 
divers assemblages de hgnes droites, les triangles, les quadrilatères etc. se déforment no- 
tablement, quand on a égard aux exigences de la Géométrie non-euclidienne qui substitue, 
au besoin, des lignes contournées aux droites telles que le sentiment intime nous les re- 
présente. Ainsi, par exemple, un triangle rectiligne, construit d'après les conceptions de 
cette Géométrie, serait indiqué par l'une des figures 9 : les angles de ce triangle devraient 
être supposés d'autant plus petits, que ses côtés seraient plus grands. Le triangle limite 
— celui dont les côtés sont infinis — affecterait la forme du tricuspide ОАБС (fig. 9), 
c'est-à-dire d'une figure composée des trois droites infinies OA^ OB et 06', issues du 
même point 0. Le rectangle ordinaire, en se déformant, pourrait prendre les apparences 
indiquées dans les figures 9'. 
Soit encore l'assemblage bien simple des trois droites ЛБ, et AI) (fig. 10), dans 
lequel ВС est supposé perpendiculaire sur ^Б, et AB représentant une obUque. Cette 
figure, dans les spéculations non -euclidiennes, et dans l'hypothèse que les deux droites 
BG et AB ne se rencontrent pas , devra être généralement remplacée par la figure 1 0' en 
vertu de la proposition д.; on voit que l'oblique AB se rapproche d'abord de la perpen- 
diculaire BG et s'en éloigne ensuite indéfiniment. Ce passage s'effectue en certains points 
a et ß des droites AB^ BG., et la longueur aß représente la base des deux parallèles JZ) 
et BG. Plus bas nous donnerons quelques autres détails relatifs à la construction dont il 
vient d'être question. 
Considérons actuellement une suite de biangles qpp'q, qp'p"(ll 4'p"ï'"''i" • • • (ßg- И)? 
ayant leurs bases sur la ligne droite AB. En restant fidels aux conceptions des non- 
euclidiens, on devra admettre que toutes les perpendiculaires p'q., p"4' ■ ■ ■ ■ vont en 
s'évasant. Or, cette condition, sous le point de vue graphique, ne saurait être remplie; 
en effet, si l'on considère d'abord le biangle qpp'q qui doit être remplacé par la figure 
a ap^ßß', et ensuite le biangle q'p'p' q", auquel on doit substituer la figure У!\рр"]х.\у!^ ou 
Mémoires de l'Aoad. Imi). des scieucea, Vllme Sehe. 2 
