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V. BOÜNIAKOWSKY, 
verra que la ligne droite ^'V doit, en même temps, affecter les formes X'Xp' et ß'ßy qui, 
pour notre entendement, sont incompatibles entr'elles. 
Entrons encore dans quelques détails relativement à un fait qui se présente dans les 
deux Géométries: c'est le mode de passage à l'état de deux parallèles de deux lignes 
droites qui se coupaient primitivement. 
Supposons qu'on ait élevé sur AB (fig. 12) la perpendiculaire BD; soit ÄC une 
autre droite indéfinie qui coïncide avec la direction de AB. Si nous faisons mouvoir AC\ 
de droite à gauche, autour du point A, qu'on suppose fixe, cette droite AC occupera suc- 
cessivement les positions AG', AG"AG"' — , et coupera la perpendiculaire BD en des points 
tels que m, m', m" Enfin, au moment où l'angle variable, formé par la droite mobile 
Л С avec la droite fixe AB divieut égal à un angle droit, cette ligne AC se confond avec 
la perpendiculaire AE, et se détache de BD. Il est impossible de se figurer la situation 
respective des deux droites AG et BD an moment de leur séparation, ou, en d'autres 
termes, de concevoir le mode de disparition du point commun de leur intersection. 
Quoique nous ne puissions pas nous rendre compte de ce fait géométrique, qui s'opère à 
une distance infinie du point В^ sa réalisation ne présente aucun doute. 
Le même fait subsiste dans la Géométrie non-euclidienne, mais, conformément à ses 
conceptions, la séparation des deux lignes droites AG' et BD (fig. 12), a lieu pour une 
direction oblique de AG' relativement à BD. En effet, considérons un angle fini quelconque 
PAC (fig. 13), et d'un point arbitraire m, pris sur la droite AP, à une distance de A aussi 
grande qu'on voudra, abaissons sur AG la perpendiculaire mn. Observons avant tout, qu'il 
n'est pas permis de supposer que la longueur An puisse croître indéfiniment, quand l'angle 
PAG n'est pas infiniment petit '). Si donc nous faisons mouvoir, de gauche à droite, la ligne 
mn prolongée, de façon à ce qu'elle reste constamment perpendiculaire à AC, il arrivera 
qu'à une certaine distance de A, elle se détachera de la droite AP; soit BD sa nouvelle 
position. Cette séparation des deux lignes s'opérera à une distance infinie du point B. 
Jusque-là, la droite AmP sera censée s'approcher indéfiniment de la droite BD qui, relati- 
vement à AmP, se comportera comme une asymptote. Le lieu de la séparation de ces deux 
parallèles correspondera à leur base, qui sera infiniment petite; à partir de ce point, la 
ligne AmP devra, à l'instar d'une tangente, s'éloigner de BD, comme cela a lieu pour 
chaque couple de parallèles dans la Géométrie non- euclidienne. Remarquons, en passant, 
que, dans le sens de la Géométrie imaginaire, la droite AmP représentera la parallèle à 
BD, menée par le point A. 
Si, au lieu de l'oblique AmP, on en considère une autre, formant avec la droite AC 
un angle inférieur à PAG, la perpendiculaire de séparation s'éloignera du point A. La base 
de ces deux nouvelles lignes parallèles sera, comme plus haut, infiniment petite, et se 
trouvera à une distance infinie du point B'. 
1) Voyez à ce sujet mon opuscule: Параллелъныя линіи, page 25, 
