Considérations sur quelques singularités etc. 
11 
Pour ce qui concerne la base MN des deux parallèles AmF et B'D', sa longfieur, 
ainsi que sa distance à la ligne AB', seront toutes deux finies. Cela résulte de ce que la 
portion d'une ligne droite, interceptée par deux parallèles, est toujours plus grande que 
leur base ^). Il suit de là qu'on doit avoir MN < AB'. 
Les constructions qui viennent d'être rapportées montrent l'insuffisance, dans la ques- 
tion des parallèles, des seules notions sur la ligne droite, admises dans la Géométrie usitée. 
Et en effet, quand nous disons que la droite AB (fig. 14) est le plus court chemin entre les 
deux points A et B, sommes-nous en droit d'en conclure que c'est précisément la ligne 
AGB, et non ADB? Si nous menons la ligne AGB., ce n'est pas par suite d'un raisonne- 
ment rigoureux, mais seulement en nous fondant sur l'expérience et sur l'indication de nos 
sens. Il en est de même des autres notions sur la droite dont on fait usage dans les élé- 
ments de Géométrie; elles n'autorisent pas plus que la définition précédente à exclure la 
forme curviligne que comportent les constructions non-euclidiennes. 
Après cela il est tout naturel de voir échouer les nombreuses tentatives de démonstra- 
tions de la théorie des parallèles. Nous le répétons, tant qu'on n'avisera pas à introduire 
dans la Géométrie une notion de la ligne droite telle que, de prime abord, et indépendam- 
ment du témoignage de nos sens, elle la distingue de toute courbe tournant sa convexité 
dans un sens déterminé par rapport à certain point ou certaine droite, les arguments pro- 
duits pour établir l'une des propositions fondamentales de la doctrine des parallèles ne 
seront que des paralogismes plus ou moins spécieux. 
A l'appui de ce qui vient d'être dit, je ne saurai mieux faire que de rapporter une 
récente démonstration du théorème de la somme des angles d^un triangle, donnée par 
M' Carton, et présentée par lui à l'Académie des Sciences de Paris le 5 juillet 1869. 
Quelques géomètres de premier ordre ont considéré sa démonstration comme tout-à-fait 
rigoureuse; mais il en est autrement, si l'on se place au point de vue des antagonistes de la 
Géométrie usitée. Voici, à quelques développements près, la démonstration de M' Garton, 
telle qu'elle a été exposée dans les Gomptes-rendus hebdomadaires des Séances de V Académie 
des Sciences de Paris "^). 
Nous admettrons avec M' Carton les idées fondamentales relatives à la ligne droite 
et au plan, ainsi que quelques propositions sur lesquelles il base son argumentation. Nous 
n'avons rien à redire contre la légitimité de ces préliminaires, et nous passons de suite à 
la construction sur laquelle repose sa démonstration. 
Soit ABC (fig. 15) un triangle rectiligne dont deux angles aigus sont adjacents à la 
base AB; prolongeons cette base indéfiniment, et prenons sur son prolongement n — 1 Ion- 
1) Параллелъныя линги, page 54. 
2) Tome LXIX, № 25 (20 décembre, 1869). Le principe 
qui sert de base à la démonstration de M'' Carton, comme 
on n'a pas tardé de le remarquer, a déjà été employé 
bien avant lui. Dans les Nouvelles Annales de Mathéma- 
tiques de M' Terquem (Tome VIII, 1849, page 312) on 
trouve une démonstration de M'' CamiUo Minaréli, qui 
repose identiquement sur le même principe. Seulement, 
au lieu de l'hexagone de M'' Carton, il considère un pen- 
tagone. 
* 
