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V. BOUNI AKOWSKY, 
gueurs ББ^, Б^В^, ^г-^з ^п-г ^п — \ égales à AB ^ п étant un entier aussi 
grand qu'on voudra. Sur ces diverses lignes formons les triangles ВС^В^, В^С^В^. . .. 
— 2^n — — 1 ^^^^ égaux à ABC, et joignons par les lignes droites CC^, C\C^.,.. 
Gn-oßn-i 'eurs sommets C, C,, Q,.... G^_,, ^n-y ^^^^e ligne GC^C,... C^_,, qui 
doit être considérée comme brisée, n'aura, comme on le sait, aucun point dont la distance 
à AB^ , surpasse la hauteur CP du triangle ABC. Prenons sur cette hauteur une lon- 
gueur PK plus grande que CP, et élevons par le point К la perpendiculaire KX à PK; 
cette ligne KX, parallèle à AB^_^, laissera au-dessous d'elle tous les sommets C, C^, 
• • ^п — і- Formons une nouvelle série de triangles, ayant pour bases CC^, ^1^2 - • • • 
^и — 2^n — 1 V^^^' sommets des points arbitrairement pris sur KX, et de plus en plus 
éloignés du point Z; ces triangles CDC^, C^D^C\.... C^ _J)^_^C^_^ et les triangles 
C J)D^ , CJ)J),^ (7^ _ J)^ _ J)^ _ 2 , réunis aux deux séries des triangles déjà tracés, 
remplissent l'hexagone ACDD^_^C^_^B^_^. Il est facile de voir que le nombre total des 
triangles dans lesquels l'hexagone se trouve décomposé, est égal à 4n — 4; en effet, Ы pre- 
mière série en contient n, la seconde et la troisième chacune n — 1 et la quatrième n — 2. 
Sur ce nombre total 4n — 4 de ces triangles, il y en a 7i d'égaux au triangle ABC; si donc 
on suppose que la somme des angles de ce triangle soit 2d — a, d représentant un angle 
droit et a l'excès de deux angles droits sur cette somme, on obtiendra pour la somme des 
angles des 4n — 4 triangles les valeurs suivantes: 
1'^'' série 2nd — wa 
2'^", 3"' et 4"" séries .... (3w — 4) 2d-~x 
total : Snd — na — 8d — ж, 
X désignant, la somme faite, pour tous les Sn — 4 triangles des trois dernières séries, de 
l'excès de deux angles droits sur la somme de leurs angles. 
Or, en représentant par S la somme des six angles de l'hexagone, nous trouvons de 
suite cette autre expression de la somme des angles des 4n — 4 triangles considérés tout- 
à-l'heure; cette somme sera • . * 
S-^{n—l)2d^{n — 2)4d-i-'{n—'à)2d = S-t-8nd-16d 
Égalant entr'elles les deux expressions de la même somme, on trouve 
S-t- Snd • — 1 6d •— 8nd — na — 8d — x, 
d'oià l'on tire ' 
S — 8d — ncL X, ' ^ 
résultat absurde, puisqu'on pourrait prendre n assez grand pour que la somme S devînt 
négative. Il faudrait donc conclure de là que a et x ne peuvent être que ^éro, ce qui ré- 
