Considérations sue quelques singulaeités etc. 
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duirait la somme des angles de l'hexagone à 8 angles droits, conformément à ce que nous 
enseigne la Géométrie euclidienne. 
Telle est la démonstration de M' Carton. Notre objection contre elle portera sur la 
construction des triangles CDG^., ^J^]po • • • ■ 15) de la troisième série. Nous obser- 
verons que pour être en droit de construire ces triangles tels qu'ils sont représentés dans 
la figure 15, il faudrait prouver que les lignes droites DC, , D^C^ .... ne coupent pas les 
côtés 5Ci, G^B^. В^С^. . . . des triangles de la première série. Si elles les coupent, les 
arguments de l'auteur tombent d'eux-mêmes, parce qu'ils s'appuient sur l'égalité à 
quatre angles droits de la somme des six angles groupés autour des sommets communs 
C^, C^^.... des triangles des toutes les quatre séries. Pour élucider complètement 
notre objection, nous substituons à la figure 15 une autre, construite d'après les con- 
ceptions de la Géométrie non-euclidienne. Nous avons conservé dans cette nouvelle repré- 
sentation (fig. 15') les mêmes lettres que dans la figure 15, ce qui simplifiera la comparai- 
son des deux constructions; ainsi Ä'P est la base des deux parallèles KD^X et PBB^B.^ 
qui vont en s'évasant; ВС^В^ et B^C\B.^ deux triangles de la première série et B^Cfi^ un 
triangle de la troisième série. On voit par la figure que la droite D^C^ coupe les côtés 
5C^, В^С^ du triangle ВС^В^ de la première série, et au lieu de former un angle Bfifi^ 
extérieur au triangle Б^С^С^, comme dans la figure 15, forme, au contraire, l'angle C^Q^D^, 
compris dans Vintérieur du triangle B^C^Q^ (fig, 15 ). De là on conclut que la somme des 
angles groupés autour du sommet 6^ peut être inférieure à quatre angles droits, ce qui ne 
permet plus de tirer de la constructio-n la conséquence finale à laquelle arrive M*^ Carton. 
Je terminerai ces considérations par l'essai d'une démonstration de la théorie des 
parallèles en me basant sur une propriété caractéristique de la ligne droite, propriété qui 
exclut sa similitude avec une courbe quelconque. 
Dans une Note, parue en 1850'), et plus tard dans mon opuscule, cité plus haut, 
j'ai cherché à rendre plus élémentaire la démonstration que Legendre a proposée en 1794 
dans la première édition de sa Géométrie, et qu'il avait fondée sur le principe de Vhomo- 
généité. A cette occasion j'ai donné un énoncé modifié de cette même loi; voici la traduc- 
tion de ce que j'ai dit à ce sujet^): 
«La différence qui existe entre une droite et une courbe peut être encore envisagée 
sous un autre point de vue. Nous pouvons dire que la droite est une ligne, sur laquelle il 
n!' existe pas deux points (pas même un seul) qui se distinguent par une singularité quelconque 
de tout autre point de cette droite. Cette propriété qui s'accorde tout- à- fait avec nos no- 
tions sur la droite, ne diffère pas essentiellement de la notion relative au -paramètre ; en 
effet, s'il se trouvait seulement deux points distincts sur la droite, la distance entr'eux 
déterminerait une certaine longueur fixe, qu'on serait en droit de prendre pour son para- 
1) Note sur la théorie des parcâlèhs et sur autres points 
fondamentaux de la Géométrie élémentaire; Bulletin Phy- 
sico-mathématique, T. IX, № 4. 
2) Параллельный линіи, pages 69 — 70. 
