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V. BOÜNI AKOWSKY, 
mètre. Dans les courbes, au contraire, il existe une infinité, soit de couples de points, 
soit de points isolés, qui se distinguent des autres par quelques singularités: ainsi, par 
exemple, nous observons dans le cercle une infinité de couples de points, distants l'un de 
l'autre de la longueur du diamètre; dans la parabole nous avons le sommet et une infinité 
d'autres points tels, par exemple, que les deux points d'intersection de la courbe avec 
la droite perpendiculaire à l'axe, et passant par le foyer; dans V ellipse et Vhyperbole, les 
deux sommets se distinguent des autres points etc. Dans tous ces cas, la distance entre 
deux points singuliers détermine une longueur invariable qui peut être regardée comme le 
paramètre de la courbe que l'on considère.» 
C'est en me fondant sur la loi des homogènes présentée sous cette forme, que j'essaie 
d'établir la théorie des parallèles. A cet effet je prends pour point de départ la propriété 
suivante de la droite, propriété conforme en tout à l'idée que nous avons de cette ligne: 
La droite est une ligne indéfinie., non -rentrante en elle-même., sur laquelle il n'' existe 
aucun point qui se distingue de tout autre., pris sur la même ligne. 
Il est presqu'inutile de dire que j'attache ici au terme, point un sens analogue à celui 
qu'on lui attribue dans la Géométrie des courbes, comme, par exemple, quand il est ques- 
tion ([e^ points d4nflexion, des points multiples, des points de rehroussement , des points iso- 
lés, des points de la plus petite et de la plus grande courbure etc. Ce n'est donc pas, comme 
de raison, di\ point géométrique, considéré en lui-même, qu'il s'agit, mais uniquement de la 
position que ce point occupe relativement aux points avoisinants. 
La définition qui vient d'être donnée peut être énoncée sous une forme plus concise 
en ces termes: 
La droite est me ligne indéfinie, non -rentrante en elle-même, identique dans toutes ses 
parties. ' ' - 
Observons que sur la circonférence du cercle il n'existe pas non plus de points uniques 
qui se distinguent les uns des autres par quelques singularités; mais comme le cercle est 
une ligne rentrante en elle-même, il ne satisfait pas aux exigences de la définition précédente. 
Quant à toute autre courbe plane, elle comportera une infinité de points qui se distinguent 
les uns des autres, quand cela ne serait que par la plus ou moins grande courbure de 
l'élément de Гаге au point que l'on considère. 
Ces notions admises, il sera très facile de démontrer telle propriété caractéristique 
des parallèles que l'on voudra. Commençons par le postulatum d'Euclide. 
Soient ^C(fig. 16) une oblique et BD une perpendiculaire à ÄB; il s'agit de démontrer 
que AG et BB, suffisamment prolongées, finissent par se rencontrer. Abaissons du point В 
la perpendiculaire BG sur AC, et menons la droite BE perpendiculairement à BG; ainsi 
l'angle GBE sera droit. Concevons maintenant que cette perpendiculaire BG se meut sur 
la droite BE, dans le sens de В en E, en s'appuyant sur BE par son pied B, et en restant 
constamment perpendiculaire à cette ligne. La trace du point G, dans ce mouvement, cou- 
pera quelque part, en G' par exemple, la ligne BD, de sorte qu'on aura G'B' = GB. L'in- 
