CONSIDÉEATIONS SUE QUELQUES SINGULAEITES ETC. 
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tersection dont il s'agit aura nécessairement lieu, parce que la distance d'un point, pris 
sur un côté de l'angle DBE, à son second côté, augmentera indéfiniment, à mesure que 
ce point s'éloignera du sommet Б de l'angle en question; nous verrons plus bas que cette 
proposition se démontre d'une manière très simple. Supposons de plus que le même mou- 
vement de la perpendiculaire BG s'effectue aussi dans le sens contraire au précédent, 
c'est-à-dire de В et E'; il en résultera que le point G, restant constamment dans des con- 
ditions rigoureusement identiques, décrira une certaine ligne indéfinie KG'GK\ sur laquelle 
il n'existera aucun point qui se distingue des autres par quelque particularité. Donc la 
ligne KG'GK' sera une droite. De plus on voit de suite qu'elle doit coïncider avec l'ob- 
lique ÄC; en effet, la perpendiculaire mobile BG doit former, dans toutes ses positions, 
des angles égaux avec la droite KG'GK' dans les deux sens К et K', car il n'y a aucune 
raison de donner la préférence à l'un des deux sens. Par conséquent les angles K'GB et 
KGB seront droits, ce qui entraînera la coïncidence des deux droites C'AG et K'GG'K, et 
par suite la rencontre de l'oblique ÄG avec la perpendiculaire BD. 
Ainsi se trouve démontré non seulement le postulatum d'Euelide, mais aussi la pro- 
position relative h Véquidistance des parallèles, proposition qui découle immédiatement de 
l'égalité des perpendiculaires BG et B'G', comprises entre les deux parallèles BB' et GG'. 
Le théorème sur la somme des trois angles d'un triangle rectiligne est également une 
conséquence de ce qui vient d'être prouvé. En effet, nous venons d'obtenir le rectangle 
BGG'B' qui, eu égard à la propriété de l'équidistauce des parallèles, se décompose en 
deux triangles rectangles égaux; par conséquent la somme des trois angles de chacun 
d'eux sera égale à deux angles droits. Et comme, d'autre part, tout triangle peut être dé- 
composé en deux triangles rectangles, il en résulte que le théorème sur la somme des 
trois angles a lieu généralement. 
En se reportant à ce qui a été dit tout-à-l'heure, il nous reste à faire voir que la 
trace du point G (fig. 16) coupe la droite BD. On établit cette proposition d'une manière 
très simple au moyen de la construction suivante: 
Soient DBE (fig. 16) l'angle en question et ÄOC (fig. 17) un angle plus petit que 
DBE, choisi de façon à former une partie aliquote de l'angle droit. Ainsi, dans la figure 
17, l'angle ^40C est juste le tiers de l'angle droit. S'il arrivait fortuitement que l'angle 
DBE (fig. 16) fût déjà une partie aliquote de l'angle droit, on prendrait l'angle Л OC égal 
à l'angle DBE. Cela posé, il suffira pour notre but de faire voir que la longueur de la 
perpendiculaire AG sur OC (fig. 17) augmente indéfiniment, à mesure que l'on fait croître 
le côté OA de l'angle AOG. Pour cela, construisons le triangle isoscèle AOB, composé 
des deux triangles rectangles Л OC et BOC, adjacents et égaux entr'eux. Or, comme par 
hypothèse, l'angle AOB est une partie aliquote de deux angles droits, il en résulte qu'on 
pourra former, par la juxtaposition des triangles OGA, OAB OBD, tous égaux entr'- 
eux, la figure fermée GABD, dans laquelle la ligne GOD sera une droite. Supposons, en 
général, que l'angle AOG est contenu n fois dans l'angle droit (dans la figure 17, w= 3); 
