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(8) l 
De. E. von Ästen, 
cos ix = cos г «о 2^ I cos іА -+- sin г «о 2^ I sin г ^ , 
sin ix = sin г «о 2^ ^ cos г J — cos г «o sin г Л . 
Ferner lässt sich mit Hülfe der Cylinderfunctionen созг^ und sini^ in Reihen ent- 
wickeln, welche nach den Cosinus und Sinus der Vielfachen von | fortschreiten. Die Coef- 
ficienten der Ausdrücke 
(9) 
( 
COS г Л = a, '*> 
2a/> COS 2H -f- 2a cos 4^ 
I sin г ^ = 2ß/'> sini H- 2ß/) sin 3| -н . . . 
erhält man dabei durch Entwickelung des unendlichen Products 
созгЛ -нУ-1 sini^ = П e пк 
wobei и = e^~^ ■ ^ ist. Für jeden einzelnen Factor dieses Products lässt sich dann die 
Reihe 
(1) 
aufstellen. Wie man für созшо ^ I und sin««o ^ | Reihen der Form 
cos гво 2^ I = Pi cos I -I- i?2 cos 2^ н- |>з cos н 
sin Шо 2^ I = 2i sin ^ -I- 02 2| H- 2з sin 3^ H- . . . 
(10) 
ermitteln kann, hat Gyldén in der Abhandlung ((Eelationer emellan cosiner och siner för 
irrationella vinklar^ Ur Acta Soc. Scient. Fennicae, Helsingfors 1867», von der ein Auszug 
sich in den Astr. Nachr. № 1645 vorfindet, gezeigt. Durch Multiplication von (9) und (10) 
nach Anleitung der Gleichung (8) erhält man dann die gesuchte Entwickelung : 
(11) 
i cos ix — 
\ sin iy = 
cos ix — \ 2Xj cosiB, -+- 2\ cos2«| -i- 2\ cos3i| 
IX = 2'^! sinil -b 2^2 8Іп2г| -н 2^з smdil 
Bilden wir jetzt die Summen 
совгхо cos«Xi созгхз cosix„_i 
und 
sin гхо sm гхі -i- sm гхз -i- . . . sm гх„_і , 
so liefert die Addition der Verticalcolumnen in den beiden Systemen von Gleichungen 
