donnés* dont deux , comme ACScAÈ pris enferré 
Me , font plus grands que le troifiemë ; fi vous vou^ 
îez en conflruire un triangle, prenez A B pour la bafe, 
& du point A avec l'intervalle A C , décrivez un arc 
y ; & du point 2?" avec l'intervalle B C , décrivez un 
autre arc x : tirez les lignes droites A C & B C, vous 
-aurez le triangle. 
Il ne faut pas s'imaginer que ce problème foit tou- 
jours pofîlble ; dès- là que la fomme des deux côtés eft 
plus grande que le côté pris pour bafe , ainfi que tous 
les auteurs qui ont écrit fur la Géométrie paroiffent 
en être perfuadés ; car , prenant toujours A B pour 
bafe, fi le côté A C, par exemple , furpaffoit cette 
bafe d'une quantité égale ou plus grande que l'autre 
côté B C, l'interfeûion ne pourroit pas fe faire , &c 
par conféquent la conftru&ion ne feroit pas p'offible. 
Il eft donc néceffaire , quand on propofe ce problè- 
me, d'y mettre plus dé condition qu'on n'a de cou- 
tume , de peur que l'on ne tombe dans une conftruc 
tion abfwrde , comme je l'ai vu arriver. 
Ceft pourquoi , comme On ne peut conftruiré 
«qu'un triangle avec trois lignes droites données , il 
s'enfuit qu'en déterminant les trois côtés , tout le 
triangle eft déterminé» 
Ainfi fi en deux triangles A C B & à cb, fig. yo, 
l'on a A C ; A B :: a c : a b ; A C : C B :: a c :b c; 
alors les triangles font déterminés de la même ma^ 
mère , par conféquent ils font femblables & équian- 
gles. 
3°. Une ligne droite comme A B , &c les deux an- 
gles A & B adjacens , lefqueîs pris enfemble font 
moindres que deux angles droits , étant donnés ; pour 
décrire le triangle ABC aux extrémités de la ligne 
donnée A B , formez les deux angles donnés A&cB: 
continuez les côtés A C &c B C , jufqu'à ce qu'ils fe 
rencontrent en C. alors vous aurez le triangle ABC 
que vous cherchiez. 
De forte qu'un côté & deux angles étant donnés, 
on a tout le triangle ; par conféquent , fi deux trian- 
gles A — a &cB=b; alors ces triangles feront déter- 
minés de la même manière , & par conféquent fem- 
blables. < 
AUniere de mefurer les triangles. Pour trouver la fu- 
perficie d'un triangle , multipliez la bafe A B ,fig. 74 . 
par la hauteur Cd, la moitié du produit eft la fuper- 
ficie du triangle A B & 
Ou de cette autre manière : multipliez la moitié 
de la bafe A B par la hauteur Cd, ou toute la bafe par 
la moitié de la hauteur , le produit vous donnera la 
fuperficie du triangle. 
Par exemple , 
A B =a 342 
CD = n 7 
A B = 
C d — 
342 
234 
t A È = 
C d — 
1368 
I026 
684 
2-394 
34* 
342 
t 7 t 
*34 
684 
- - 34V 
2) 80028 fuperficie 400 14 fuperficie 40014 
fuperficie 400 14. 
Ou bien on trouve la fuperficie d'un triangle en 
joignant enfemble les trois côtés , & prenant la moi- 
tié de la fomme , & de cette moitié on fouftrait 
chaque côté féparément ; après quoi on multiplie la 
moitié de cette fomme par le produit des trois reftes, 
& l'on tire la racine quarrée de ce dernier produit; 
d'où il fuit , 1 °. que fi entre la bafe & la moitié de la 
hauteur , ou entre la hauteur & la moitié de la bafe, 
on trouve une moyenne proportionnelle , ce fera le 
côté d'un quarré égal au triangle. 2 0 . Si la fuperficie 
d\\n triangle eft divifée par la moitié de la bafe , le 
quotient eft la hauteur. 
Propriétés des triangles plans. t°. Si en deux trian- 
gles s*BC,abc,fig.y 3 . l'angle A = a les côtés 
A B = aèôcA C=ac } alors lecùtéBC~bc&c les 
Tome XVI * 
ï êii 
! angles = & par conféquent ces trian- 
gles feront égaux & femblables. 
2 0 . Si un côté du triangle A B C,fio, y S. e ft con- 
tinué jufqu'à D , l'angle extérieur D°A B fera plus 
grand qu'aucun des deux angles intérieurs oppofés 
B ou C. tl 
3 0 . Dans chaque triangle , le plus grand côté eft 
oppofé au plus grand angle , & le plus petit côté au 
plus petit angle» 
4°- Dans tous les triangles , deux côtés tels qu'ils 
foient , font plus grands que le troifiemë. 
5 0 . Si en deux triangles les différens côtés de l'uri 
font refpeâivement égaux aux côtés de l'autre , les 
angles feront aufti refpectivement égaux , & par con- 
féquent les triangles feront entièrement égaux ck fem- 
blables. 
6°. Si quelque côté , comme B C, fig. y S. d'un 
triangle A C B , eft continué jufqu'à D , l'angle ex^ 
térieur DO A fera égal aux deux angles intérieurs 
oppofés , y & ^ pris enfemble 
7 0 . En tout triangle, commet B C, les trois angles 
A , B,C, pris enfemble, font égaux à deux angles 
droits, ou ài8o d . d'où il s'enfuit, i°. que fi le trianrtè 
eft recmngle , comme M KL, fig. y, .les deux angfes 
obliques M& L pris enfemble, font un angle droit ou 
90 d . &par conféquent ce font des demi-angles droits* 
fi le triangle eft ifofcele. 2 0 . Si un angle d'un triante 
eft oblique , les deux autres pris enfemble font pa* 
reillemcnt obliques. 3 0 . Dans un triangle équilatéral, 
chaque angle eft de 60 degrés. 4 0 . Si un angle d'uri 
triangle eft fouftrait de i8o d . le reftant eft la fomme 
des deux autres ; & ii la fomme de deux angles eft 
fouftraite de i.8o d . le reftant eft le troifiemë angle* 
5 0 . Si deux angles d'un triangle font égaux à deux 
angles d'un autre triangle , fôit conjointement , foit 
féparément , le troifiemë angle de l'un eft égal au troi- 
fiemë angle de l'autre. 6°. Comme clans un triangU 
ifofcele D FE , fig. 6c,. les angles de la bafe y & u 
font égaux ; fi l'angle d'en-haut eft fouftrait de i8o d * 
& que le reftant foit divifé par 2 , le quotient eft là 
quantité de chacun des angles égaux : de même fi le 
double d'un des angles de la bafe y eft fouftrait de 
1 8o d . le reftant eft la quantité de l'angle d'en-haut. 
8°. Si en deux triangles A B C &c abc fie 7 1 ■ 
AB. = ab.,A=za, tkB = b,a\orsAC.= acl 
B C. = èc. C=.c & le triangle A CB = ac b . d'où 
il s'enfuit que fi en deux triangles AC B . Stacb, 
A = a,B=zb,&cB C=bc; alors C=c, par conté* 
quent AC=a c ,AB — ab&cle triangle A CB=ach 
9°. Si dans un triangle D FE les angles de la bafe 
y§Lu,fig.€c). font égaux , le triangle eft ifofcele i 
par conféquent fi les trois angles font égaux, le trian- 
gle eft équilatéral. 
io°. Si dans un triangle A B Cime ligne droite eft 
tirée parallèlement à la bafe, elle coupe les côtés pro* 
portionnellement, & forme un petit triangle fembla* 
ble au grand. 
i î °. Tout triangle peut être infcrit dans un cercle* 
Voyei Cercle. 
12°. Le côté d'un triangle équilatéral infcrit dans 
un cercle , eft en puiffance triple du rayon* Foyer 
Rayon. 
^ 1 3 *. Les triangles de même bafe & même hauteur, 
c'eft-à-dire , qui fe trouvent entre les mêmes lignes 
parallèles, font égaux. Voye^ Parallèle. 
14°. Tout triangle, comme CFD , (fi gi 4 ,,) e ft fe 
moitié d'un parallélogramme ACDB , de même ou 
d'égale bafe CD, & de même hauteur, ou entre les 
mêmes parallèles : ou bien un triangle eft égal à un 
parallélogramme qui eft fur la même bafe, mais qui 
n'a que la moitié de la hauteur, ou qui n'ayant que 
la moitié de la bafe , a la même hauteur que le trian* 
gle. Voyei PARALLÉLOGRAMME. 
1 5 \ Dans tous les triangles tant plans que fphén- 
, H H h h ij 
