4 W. STEKLOFF. SUR UNE APPLICATION DE LA THEORIE DE FERMETURE AU PROBLEME DU DEVELOPPEMENT 
Donc, le Systeme de polynomes (4) est un Systeme ferme 
On peut donner enfin, dans certains cas, те expression precise du terme complemen- 
taire S n du developpement (10), comme l'ont montre d'abord Tchebicheff 2 ) meme et, puis. 
M. K. Posse 3 ). 
Plus generalement, si l'on designe par 
f (x) et о (x) 
deux fonctions de x, integrables dans (a, &), et l'on pose 
b . n 
(10 2 ) jp(x)f(x) 9 (x)dx=^A k B k - + - T n , 
a fc=0 
OU 
Ъ 
B k =k ( p(x)y(x)y k (x)dx, 
а 
on aura 
I T \ < г pour n > n 0 , 
г etant un nombre positif donne a l'avance, n 0 etant un entier assez grand. 
Si l'on suppose que f(x) et <p(#) admettent les derivees de n -+- 1 premiers ordres, 
continues dans (a, b), on obtient, d'apres Tchebicheff, cette expression precise du terme 
complementaire T n du developpement (10 2 ) 
ш t f in+1) (W n+1) W 
{) n " [(»+l)!] 2 < + i' 
\ et y\ designant deux valeurs de x, comprises entre a et 6, a n+1 designant le coefficient de 
x n+1 du polynome cp w+1 (x). 
Si l'on pose, en particulier 
<р(ж) = f(x), 
1 ) W. Stekloff: «Sur la theorie de fermeture des systemes de fonctions orthogonales dependant d'un nombre 
quelconque de variables». Memoires de l'Academie des Sciences de St. Petersbourg, Vol. XXX, jM- 4, 1911. Yoir 
aussi ibid., 1904. 
2) Tchebicheff: «Sur une serie qui fournit les valeurs extremes des integrales, lorsque la fonction sous le 
signe est decomposee en deux facteurs». Oeuvres, St. Petersbourg, Т. II, pp. 405 — 417. 
3 ) K. Possö: «Sur quelques applicatious des fractions continues algebriques». St. Petersbourg, 1886, 
pp. 33—44. Voir aussi «Communications de la Societe Mathematique de Kkarkow», 1S8S. 
