DES FONCTIONS ARBITRAIRES EN SERIES PROCEDANT SU1VANT LES POLTNOMES DE TCHEBICHEFF. 5 
on aura 
4. On voit que le probleme du developpement des integrales de la forme 
ъ 
j p{x)f{x)^(x)dx 
а 
en series de la forme (10 2 ) ä l'aide des polynomes de Tchebicheff est suffisamment etudie. 
Bien au contraire, le probleme, mm moins important, de la representation approcbee 
des fonctions ä l'aide des polynomes de la forme (8) ainsi que le probleme, intimement He 
avec celui-ci, du developpement d'une fonction donnee en series procedant suivant les poly- 
nomes <p ft (#)(& = 0, 1, 2, ....), ne sont qu'a peine touche. 
Nous n'avons, jusqu'ä present, aucun moyen pour assigner тёте une limite superieure 
de l'erreur qu'on commet en remplagant la fonction f(x) par son expression approcbee ä 
l'aide de polynome P n (x) (8), si l'on entend par cette erreur le terme complementaire p n (x) 
qui figure dans le developpement (7). 
Nous ne pouvons rien dire de тёте sur la possibilite du developpement de la fonc- 
tion f(x) en serie de la forme (7), a l'exception de trois cas tres particuliers, lorsque les 
polynomes de Tchebicheff se reduisent ä ceux de Jacobi, d'Hermite-Tchebicheff 
ainsi qu'aux polynomes, indiques pour la premiere fois par Tchebicheff тёте dans son 
Memoire: «Sur le developpement des fonctions ä une seule variable» (Oeuvres, Т. I, 1899, 
pp. 501—508). 
Ed tenant compte de l'importance du probleme, dont il s'agit, il те parait non dёnuё 
d'lntёrёt de completer en quelques points les lacunes que nous venons de signaler, et d^tu- 
dier la question sous certaines hypotheses ge^rales au sujet de la fonction caracteristi- 
que p (x). 
Nous allons indiquer, dans ce qui va suivre, une methode pour i^soudre le probleme 
du developpement pour toute suite de polynomes de Tchebicheff dont la fonction caracte- 
ristique p(x), toujours positive dans l'intervalle donnё (a, 5), satisfait ä une seule condition 
d^tre susceptible de la forme 
X 
(1 1) p (x) = j q (x) dx -+- C, 
q (x) ёtant une fonction integrable dans (а, Ъ), G etant une constante. 
