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6 \V. STEKLOFF. SUR UKE APPLICATION 1)E LA THEORIE DE FERMETURE AU PROBLEME DU DEVELOPPEMENT 
Nous montrerons que le terme complementaire p n (x) du developpement (7) tend tou- 
jours uniformement vers zero, pourvu que la fonctiou f(x) admette la derivee du premier 
ordre satisfaisant ä la condition 
X 
f (x) = j <p (x) dx -+- G. 
а 
cp (x) etant une fonction integrable dans (а, b), С etant une constante. 
Bien que cette methode est encore iusuffisante pour assigner l'expression precise du 
terme complementaire p n (x), ce qui presente le probleme d'autant important que difficile. 
eile permet neanmoins de determiner, dans certains cas, l'expression precise de f n (x) pour 
les valeurs limites de 
x = a et x = Ъ 
aiusi que la limite superieure du module de p n (x) pour toutes les valeurs de x entre a et Ъ. 
Ces resultats peuvent presenter im certain inter^t comme les premiers pas eu avance 
dans la Solution du probleme fondamental que nous venons de mentionner. 
5. Quant ä ce dernier probleme, — probleme de determination de l'expression precise 
du terme complementaire p n (x) de la formule (7), — il offre des difficultes que je ne puis 
pas surmonter en ce moment. 
Neanmoins il est interessant de remarquer que la Solution de ce probleme est iiitime- 
ment Нее avec celle du probleme suivant: 
Les fonctions f(x) et <p (x), admettant les derivees de n -+- 1 premiers ordres dans Vin- 
tervalle (a, etant donnees, irpüver l'expression precise du terme compUmentaire T n (x) du 
developpement 
x n b x 
j.p (ж) f (x) cp (x) 4x=^S I* p {x) f(x) <p fc {x) dx- ij p (x) cp (x) o k (x) dx -+- T n (x), 
а 7с=0 а а 
x etant un nombre compris entre a et h. 
Nous avons ici une generalisation du probleme de Tcliebicbeff qui en resulte. si Von 
pose en particulier x = b. 
Je crois utile d'attirer l'attention sur ce probleme, tres interessant par lui meme, dont la 
Solution peut conduire en тёте temps a la Solution du probleme de la representation appro- 
сііёе des fonctions a l'aide de polynomes de Tcliebicbeff. 
