DES FOXCTIOXS ARBITRAIRES Ш SEEIES PROCEDANT SUIVANT LES POLYNOMES DE TCHEBICHEFF. 
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6. Remarquons, enfin, que c'est precisement la theorie de fermetore, developpee daDs 
mon Memoire cite plus haut (Memoires de l'Academie des Sciences de St. Petersbourg, 1911, 
Vol. XXX, n° 4) qui nous permet de resoudre le probleme enonce dans le titre du Memoire 
actuel, et que les resultats, que nous venons d'indiquer brievement, n'apparaissent que des 
simples consequences de l'application de cette theorie ä la question consideree. 
7. Apres ces remarques preliminaires passons ä la Solution du probleme propose. 
Supposons, pour plus de simplicite, que la fonction positive p(x) aämette la derivee 
p'(x) dans Vintervalle (a, b). 
II est aise de comprendre que tons les resultats, que nous obtiendrons dans cette hy- 
pothese, auront aussi Heu dans le cas plus gener al ой la fonction p(x) satisfait ä la condi- 
tion (11). 
Prenons pour la definition des polynomes (4) <р л (ж)(7с = 0, 1, 2, . . . .), cörrespondant а 
la fonction caracteristique p (x), la formule 
ъ 
(12) j p(x) b (x)O k _ 1 (x)dx = 0, 
а 
Ѳ п1 (ж) etant un polynome arbitraire de degre < к — 1, jointe a l'equation (6) du n° 2. 
Nous savons maintenant, comme je Tai dejä dit plus haut, que toute suite de polynomes 
de Tchebicheff est fermee, quelle que soit la fonction caracteristique p (x) positive dans (а, b). 
II s'ensuit [voir les egalites (10) et (10 х )] que 
oo 
к=пч-1 
et qu'il existe toujours im entier щ tel qu'on ait 
(13) 8 n < г 2 pour n > %, 
e etant un nombre positif donne ä l'avance. 
Soit <p (ж) une autre fonction integrable dans (a 1 b). 
On a toujours 
Ъ n 
(14) fp(x)f(x)<f(x)dz =^Ä k B lc -и T n , 
а . к=0 
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