DES FONCTIONS ARBITRAIRES EN SERIES PROCEDANT SUIVANT DES POLYNOMES DE TCHEBICHEFF. 
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17. Les inegalites, etablies aux n 03 precedents, suffisent pour resoudre le ргоЫёше du 
developpement des fonctions, satisfaisant aux conditions du n°4, en series infinies procedant 
suivant les polynoraes de Tchebicheff ä coefficients formes suivant la loi de Fourier. 
Remarquons d'avance que les meines inegalites jointes ä certaines autres propositions, 
que nous allons indiquer plus tard, nous permettront d'obtenir une Solution du probleme 
plus important, ä savoir celle du probleme de representation approchee des fonctions, dont il 
s'agit, par les polynomes de degre formes de n -+- 1 premiers termes des developpements 
dont nous venons de parier. 
II est evident que la Solution du premier de ces deux problemes en resultera immedia- 
tement, comme une simple consequence, mais nous preferons de le considerer independam- 
ment, car sa Solution se deduit tout de suite des inegalites, etablies plus haut, saus conside- 
rations compleraentaires. 
18. Designons par 
(45) Ф 0 (я), %(*),■•■-, 
une suite quelconque de fonctions orthogonales et normales correspondant ä la fonction 
caracteristique p (ж). 
On а 
ъ 
jp (x) Ф к (x) Ф т (x) dx =0, si k^m 
а 
et 
ъ 
^p{x)Ф\{x)dx = 1. (* = 0,1,2,...) 
а 
Quelle que soit la fonction f(x), integrable dans (a, 6), on a toujours 2 ) 
Ъ Ъ n 
(46) S n =jp(x) ? l(x)dx = jp(x)P(x)dx -2 A\ < e 
а a ft=0 
J ) Cette condition peut etre гетріасёе par la suivante, plus generale: 
La fonction f (x) admet la derivee du premier ordre se representant sous la forme 
X 
f (x) = f f , (x) dx ■+• e, 
а 
f L (x) etant une fonction integrable, с etant une constante. 
2 ) Rappeions que 
n ъ 
Pn И = f {x) — 2 A k Ф ІС (x), A k = jp {x) f {x) Ф к (ж) dx. 
4=0 а 
