DES FONCTIONS ARBITRAIRES EN SKRIES PROCEDANT SüIVANT DES POLYNOMES DE TCHlÜBJCHEFF. 25 
Nous у avons donne un exeraple de l'application de ce theoreme; maintenant nous en 
aurons un autre exemple, non moins importaut. 
La formule (51) du n° precedent a Heu pour toutes fonctions 
p(x), <р(ж) et Ря (ж) 
satisfaisant respectiveraent aux conditions (39), (49) et. (52). 
Appliquons cette formule aux fonctions p n (x) et <р(ж), en posant 
n b 
P» 0*0 = f( T ) — ]S A k ^ Ä k = jv О) Ш Ь ( x ) dx > 
к—О а 
ob. f(x) est une fonction donnee admettant les derivees de deux premiers ordres dans l'in- 
tervalle (а,Ъ), y k (x)(k — 0, 1, 2, . . .) sont les polynomes de Tchebicheff correspondant 
ä la fonction caracteristique p {x), et 
<p (x) = (x — a)(b — x). 
Dans ce cas p n (x) admet les derivees de deux premiers ordres dans l'intervalle (a, b) 
et la formule (5 1 ) devient 
рШ — а)Ф = P(x)(x — a)(b — x) ? l(x) — 
(53') „ 
X X 
— ^[ü{ x ){ x — а )Ф — x ) -+- p(x)(a-t-b—2x)~] f n dx — 2 ^p(x)(x — a)(l> — x) f n (x) p' n \x) dx, 
\ ■ 5 
\ et x etaut deux valeurs quelconques de la variable x prises arbitrairement dans l'intervalle 
(a, b). 
Supposons que 1) la fonction caracteristique p (ж), restant positive, ne s'annule pas dans 
(a, b), ou 2) qu'elle ait la forme (35) du n° 13. 
Dans ce cas toutes les conditions du theoreme general du n° precedent seront remplies, 
car, en vertu de (34) (n 03 12 et 13), on а 
ъ 
(54) Q n = f p (x) (x — a) (b - x) (x) dx < А 2 г\ 
а 
Зап. Фи8.-Мат, Отд. 
