26 W. STEICLOFF. SUR UJiE APPLICATION DE LA ТПЁОШЕ DE FERMETURE AU PROBLEME DU DEVELOPPEMENT 
de sorte qu'on peut poser, dans (50), 
B 2 = A 2 t\ 
L'inegalite (53) devient alors 
(55) pj® < f^-- 0 - S n -,- e 2 Jß 
он, en vertu de (46), 
(56) f n ® < 
ІѴ 2 ctant un norabre fixe ne depeudant ni de n, ni de \. 
Cette megalite а Heu pour tonte valeur de £, comprise dans l'intervallc (a, ß), ой les 
fonctions p (x) et 
cp (x) — (x — a) (b — x) 
ne s'annulcnt pas. 
En tenant compte de l'hypotliese, faite au sujet de la fouction p (x), on peut poser 
а = а -+- Л, ß = Ь — Л, 
Ii etant im nombre positif qu'on peut rendre si petit qu'on le veut. 
Donc, Vinegalite (56) a Ueu, dans le cas considere, pour toide valeur de E, prise агЫ- 
traircment ä Vintericur de Vintervalle donne (а, Ъ). 
En se rappelant tont cc qui a ete dit plus baut, on arrive au tbeoreme: 
Theoreme. Toulc fonction f(x) admettant la dcrivee f'(x), susceptible de la forme 
X 
(56) f'(x)= jf\(x)dx -ь C, 
se devcloppc, dans chaque Intervalle (а, ß) intvrienr ä Vintervalle donne (а, b), en serie uni- 
forinement convergente dans (а, ß) de la forme 
CO h 
f(x) = 2 A k 9, (x% Л к = I 'p (x) f(x) * k {Щ dx, 
к—О а 
