DES FONCTIONS ARBITRAIKES EN SERIES PROCEDANT SÜIVANT DES POLYNOMES DE TCHEBICHEFF. 27 
quels que soient les polynomcs <p Ä (x) (k= 0,1,2, ) de TcMUclieff dont la fonction carac- 
teristique p (x) satisfait ä la condüion (11) du n° 4 et ne s'annule pas dans V Intervalle (а, Ъ), 
он se represente sous la forme (35) du n° 13. 
Si nous nous bornons au premier cas, ой la fonction p (x) ne s'annule en aucun point 
de l'intervalle (а, Ъ) {les extremites у comprises), le developpement {57) subsiste pour tous les 
points de cd Intervalle (les extremites a et Ъ у comprises)*). 
20. Nous avons ainsi demontre que le terrae complemeutaire p n (x) du developpement (57) 
teud imiforracment vers zero, lorsque l'entier n croit iudefiiiiment, mais l'analyse precedente 
ue fouruit aucune indicatiou sur le degre de decroissance de p n (x) avec — • 
La determination de l'expression precise de о (x) presente en ce moraent des difficultes 
insurmontables; nous n'avous de meine aucun moyen pour deterraiuer la plus grande valeur 
de |р„(ж)| dans l'intervalle (а, Ъ), c'est a dire l'ecart maximum du polynome de degre n 
n 
(58) вд=2- 4 * < р*и 
des fonctious f(x) que nous considerons ici (voir theoreme du n° precedent). 
Nous ne pouvons meme rien dire sur une limite superieure de l'erreur absolue qu'on 
commet en remplagant une fonction f(x) approximativement par le polynome P n (x). 
Dans ces circonstances, les recherches qui vont suivre et qui ont le but de completer, 
en quelque sorte, cette derniere lactine ne me paraissent pas denuees d'interet. 
Remarquons d'ailleurs que c'est precisement une iuegalite foudamentale de la theorie de 
fermeture, etablie au n°6 (p. 8) de mou Memoire: «Sur la theorie de fermeture etc.», coin- 
binee avec im theoreme general concernant le probleme de representation approcliee des 
fonctious continues par les polynomes, qui nous permettra de trouver une limite superieure de 
ІР»І 
en fonction du nombre n. 
21. Convenons d'appeler famille (C) uue famille de fonctious f(x) susceptible de la 
forme 
X 
(ß) f(x) = jy(x)dx -+- C, 
а 
9 (x) etant une fonction integrable dans (a : 6), С etant une constante. 
г ) Pour s'en assurer il suffit de se rappeler le theoreme du u° 14. 
4* 
