28 W. STEKLOFF. SUR ME APPLICATION DE LA THEORIE DE FERMETURE AU PROBLEME DU DEVELOPPEMEST 
Les fonctions, dont il s'agissait daus le theoreme du n° precedent, appartiennent donc а 
une famille, que nous convenons d'appeler famüle (D), de fonctions dont les derivees du 
premier ordre appartiennent ä la famille (6 1 ). 
Les recherches de ma Note: «Sur quelques consequences de certains developpements 
en serie analogues aux developpements trigonometriques», publiee aux Comptes Rendus du 
10 nov. 1902, conduisent tout de suite au resultat suivant: 
On peut toujours construire un polynome P n (%) de degre n tel qu'on ait, pour tout 
point x de V Intervalle donne (a, h) 
\m - p n (x)\ < ~^=, 
nyn 
quelle que soit la fonction f (x) appartenant ä la famille (i)), A designant un nombre fixe ne 
dependant pas de n. 
J'aurais la raison, peut etre, de prendre cette inegalite pour le point de depart, vu la 
liaison intime de sa demonstration avec toutes mes dernieres recherches, mais je prefererai 
de faire usage d'une autre inegalite, plus exacte, etablie recemment par M. D. Jackson par 
une methode tout a fait differente, en renvoyant pour la demonstration a l'Inaugural Disser- 
tation: «Über die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale 
Funktionen gegebenen Grades etc.», publiee par M. Jackson en 1911 ä Göttingen 1 ). 
Le theoreme de M. D. Jackson peut s'enoncer comme il suit: 
On peut toujours construire un polynome P n (x) de degre n tel qii'on ait, pour tout 
point x de Vintervalle donne (а, Ъ), 
(у) \т-р п (х)\<ф, 
quelle que soit la fonction f (x) appartenant ä la famille (D). 
C'est precisement l'inegalit6 (y), plus exacte que l'ine^alite pr6cedente, que nous ferons 
usage plus loin. 
Quant a la constante A, eile est egale ä 
(3) А = (лЖ, 
ой (л est un nombre ne dependant ni de la fonction f(x), ni de щ M est le nombre qui figure 
] ) Voir, t\ cct 6gard, aussi mon Memoire: «Quelques applicationa uouvelles de la th£orie de fermeture», 
Memoires de l'Academie des Sciences de St-INHersbourg, 1913. 
