DES FONCTIONS ARBITRAIRE3 EN SEJilES PR0CEDANT SUIVANT DES POLYNOMES DE TCHEBIC1IEFF. 29 
dans l'inegalite 
\f'(x) - f'{x)\ < M\x — x\ } 
ä laquelle satisfait, d'apres l'hypothese faite, la derivee f (x) *). 
22, Cela pose, reprenons l'inegalite fondamentale (20) (n°6. p. 8) de mon Memoire: 
«Sur la theorie de fermeture etc.», cite plus haut. 
Designant, comme dans le Memoire cite, par f(x) et ср(ж) deux fonctions quelconques 
et posant 
CO ?) 
S n = S A 2 k , Ä k = jp(x)?(x) b (x)dx, 
со b 
<p k (x)(k = О, 1, 2,. . . .) etant une suite quelconque de fonctions orthogonales et normales 
correspondant ä la fonction caracteristique p(x), l'inegalite (20) s'eciira 
(59) ' <ßü <Й+|/ jp (*) (fix) — ? (x)J dx. 
f а 
Si nous supposons que cp (x) soit un polynome quelconque P n (x) de degre n et que <p /£ (x) 
designent les polynomes de Tchebicheff, on aura 
S n = 0, 
et l'inegalite (59) deviendra 
ь 
$g? < fp(x)(f(x)-P n (x)Jdx. 
а 
Prenons maintenaut pour P n (%) le polynome de M. Jackson et supposons que la 
fonction f(x) appartienne a Ja famille (D). 
J ) Cette inegalite se deduit immediatement de la relation 
X 
f'(x)=jy 1 (x)dx4-C, 
а 
ä laquelle satisfait, d'apres l'hypothese faite, la fonction f'(x). 
