32 W. STEKLOFF. SUR UNE APPLICATION DE LA THEORIE DE FERMETÜRE AD PROBLEME DU DEYELOPPEHENT 
Ou aura alors 
' n 1 Ii 
ou, en vertu de (60j) (n°22) et de (8) (n°21), 
fi\\ ^ gM 
о- etaut un nouibre ne depeudant que de la fonction p(x) aiusi que des limites v. et ß de 
l'iutervalle («, ß). 
L'analyse precedente conduit ä ce theoreme: 
Theoreme. Towfe fonction f(x) de la famille (D) peut elre represenlee, dans chaque Inter- 
valle (a, ß) Interieur ä l'intervalle donne (a, 5), par le polynome de degre n, forme de n-+-l 
premiers termes du dcveloppement uniformement convergent de la forme 
n ъ 
f( X ) = ^ Ä k Ь <»> A k = jp ( X ) f( X ) fk l X ) dx > 
h—O а 
avec une erreur absolue moindre que 
aM 
n \j n 
a etant un nombre ne dependant que de la fonction p{x) ainsi que des limites a et ß de l'in- 
tervalle (a, ß). 
Ge theoreme a lieu pour tous les polynomes cp A (#) de Thehiclieff dont la fonction caracte- 
ristique p{x) satisfait aux conditions generales du n° 19. 
25. No-us avons deduit les resultats precedents daus l'hypothese que la fouctiou f(x) 
admctte la derivee f'(x) et que cette derivee ainsi que la fouctiou p(x) puisseut ёЧге presen- 
tees sous la forme d'une integrale definie [les equations (56) et (11)]. 
Remarquons que cette derniere coudition est äquivalente a l'hypothese que f (x) et p (x 
satisfont aux iuegalites de Lipschitz 
\f'(x) — f'(x)\ < M\x' — x\, 
\p(x) — p(x)\ < Г\х — a?|, 
