DES F0NCTI0NS AEBITRAIRES EN SERIES PROCEDANT SÜIVANT DES POLYNOM KS DE TCHEBICHEFF. 
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P et M etant des nombres fixes, x et x designant deux valeurs de x, prises arbitraireraent 
dans l'intervalle donne (a, b). 
Tout porte ä croire que les theoremes, analogues aux precedents, subsistent encore dans 
les conditions plus generales, lorsque, par exemple, la fonction f(x) satisfait ä la seule con- 
dition de Lipschitz; il est aise, au moins, de s'en assurer dans certains cas particuliers. 
Bien que cette question merite une attention, nous ne l'aborderons pas dans ce Me- 
moire, d'autant plus que les hypotheses, faites plus haut, sont dejä assez generales. 
Nous ferons, au contraire, quelques remarques relatives ä un cas beaucoup plus parti- 
culier, lorsque la fonction f(x) admet non seulement la derivee du premier ordre, mais encore 
celles de l'ordre plus eleve et, en particulier, les derivees de tous les ordres (fonctions inde- 
finiment derivables). 
26. Supposons, de la sorte, que la fonction f(x) admette les derivees continues jusqu'ä 
Г ordre n-+-3. 
Posons, pour simplifier l'ecriture, 
D'apres l'hypothese faite, ' F(x) sera une fonction admettant les derivees continues 
jusqu'ä l'ordre n -+- 1. 
Appliquons maintenant les formules de Tchebicheff aux expressions de S H et Sf® (n°23). 
On obtient [formule ß) du n°3] 
|/рн-Ц® | 
(63) 
(n-f-l)!a n+1 
\ et у] etant deux valeurs de x comprises entre a et b. 
On peut donc ecrire, en tenant compte de (60 x ), 
(64) l/Q H < 
(»+ 1)! a t 
1 
Designons par M p le maximum du module de la derivee de l'ordre p de la fonction f(x) 
dans l'intervalle (a, b). 
\іли. Фіи.-Мат. Отд. 5 
