DES FONCTIONS ARBITRAIRES EN SERIES PROCEDANT SUIVACT DES P0LYX051ES DE TCHEBICHEFF. 45 
On a donc, en ayant egard а (78), 
P = P 2 ^ П -■+- 1 • 
On peut donc dire que l'approximation, fournie par les polyuomes P n {x) pour les fonc- 
tions considerees, est moindre que Ja meilleure approximation possible non plus que \ln -+- 1 
fois seulement, tandis que l'ordre p, d'approximation, fournie par le polynome de degre w, 
correspondant a la serie de Taylor, est egal а 
Pi = 2 Pa- 
Par exemple, pour n =10, l'ordre de la meilleure approximation est seulement 3,5 
fois plus grand (a peu pres) que celui du polynome P n (%), tandis que l'ordre d'approxima- 
tion du polynome de degre 10, forme de 11 premiers termes de la serie de Taylor, sera 
1024 fois plus grand que celui de la meilleure approximation. 
Nous avons pris, pour un titre d'exemple, les polyuomes correspondant aux para- 
metres 
a = ß = T ' 
mais les considerations analogues s'appliquent a tous les polynomes de Jacobi, quels que 
soient les parametres a! et ß'. 
33. Nous avons demontre que les inegalites (62) et (66^, qui nous ont couduit aux 
theoremes generaux des n 04 24 et 27, subsistent pour toutes les valeurs de \ d'un intervallc 
(a, ß), pourvu que cet intervalle soit situe ä VinUrieur de l'intervalle donue («, h), mais 
l'analyse precedente ne nous permet pas cVaffirmer que ces inegalites restent aussi vraies 
pour les limites a et Ъ de cet intervalle, 
Montrons mainteuant que dans le cas, ou la fonction caractßristique p (x) ne s'anuule 
cn aucun point de l'intervalle (a, b) (les extremites у comprises), les inegalites de la memo 
forme ont aussi lieu pour les valeurs extremes de \\ 
\ = a et \ = b. 
Considerons d'abord le cas general ou la fonction a approclier f(x) satisfait aux condi- 
tions du theoreme du n° 24. 
Reprenons, par exemple, la seconde des formules (43) du n° 15 qui s'ecrira, conforme- 
meut aux notations у adoptees, 
(79) ф - a)p (a) f n («) =~-S n + 21 f - - ®I*> и- Щ. 
