4S AV. STEKLOFF. SUR ME APPLICATION DE LA THEORIE DE FERMETURE AU PROBLEME DU DEVELOPPEHENT 
Theoreme. Toute fondion f(x) de la famille (D) peut etre representee, en tous les points 
de Vintervalle (a, &), par le polynome de degre n, forme de n -+- 1 premiers termes de la serie 
CO 
7c— О 
avec une erreur absolue moindre que 
gM 
n s/ n 
? etant un nombre ne dependant que de la fondion p (x) ainsi que des limites a et b de Vin- 
tervalle (а, b). 
Ce tlieoreme a Heu pour toute suite de polynomes de Tchebicheff dont la fondion 
caraderistique p (x) ne s'annule en aucun point de Vintervalle (a, b) (les extremites у compri- 
ses) et salisfait ä la condition de Lipscliitz (voir n°25). 
34. L'analyse precedente montre que l'ordre d'approximation, que fouruisseut les poly- 
nomes de la forme 
n 
7c=0 
pour les fouctions de la famille (D), est au moius egal а 
l 
я У n 
II est naturcl de se demander, la limite trouvee de l'erreur absolue ne presente-t-elle 
pas une limite trop grossiere et le polyuome P n (x) ne fouruit il pas en realite une approxi- 
mation de l'ordre plus eleve? 
Sans etudier cette qucstion tres difficile dans toute sa generalite, nous nous bornerons 
ä un cas plus simple, lorsque la fouction f(x) a approclier admet les derivees successives 
de divers ordres (Voir le tlieoreme du n°27). 
II est remarquable que dans ce cas noas pouvons trouver Vcxprcssion prccise du module 
du terme complementaire p n (x) pour les valeurs extremes a et b de Ja variable x. 
Cette expression se deduit aisement de la formule (79). 
On peut ecrire, en effet (voir n° 1 5),. 
ь 
В™ = r(l)jp(x) ? l(a-)dx = r { l)S )t , 
