DES FONCTIONS ARBITRAIRES EN SERIES PROCEDANT SUIVANT DES POLYNOMES DE TCHEBICHEFF. 51 
35. Ces inegalites montrent que 1 'ordre d'approximation fournie par les polynomos 
cunsideres pour 
ГЦ et f{b) 
est au moins egal а 
\Jn-t-l 
Г(»+1)(і 
»1+1 
Prenons en consideration l'ensemble tout entier de fonctions f(x) assujetties a la seule 
condition (84). 
Montrons qu'a cette condition Vordre d'approximation, dont il s'agit, est precisement 
egal ä 
T(n-^l)a n+1 
Pour cela, il suffit de s'assurer que les constantes B n et C n restent, pour l'une au 
raoins des fonctions f(x) appartenant a la famille consideree, finies, lorsque n croit indefini- 
ment. 
Prenons pour f(x) une fonction satisfaisant ä la condition 
N < fW(x) < M 
et faisant, evidemment, partie de la famille consideree '). 
Dans ce cas on trouve 
2/^-2) (Qf(*-bi)(?) > 2Л 72 
et 
| (1 + r ß) [f^-t-V (n)f -и 2 (C - b) f№) (C) f (Щ < М 2 (\1-*-гЦ)\ч-2(Ь-а))\ < X 2 M 2 , 
X etant un nombre fixe. 
Donc, le premier terme de l'expression A n (82) tend vers хёго, lorsque n croit indefi- 
niment, tandis que le second terme reste toujours positif et plus grand que 2ІѴ 2 . 
II s'ensuit qu'il existe un entier w 0 , assez grand, et un nombre positif A tels qu'on ait 
A n > Л 2 pour ю>ю 0 . 
!) Nous entendons par N un nombre donne positif. 
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