DES F0NCTI0NS ARBITRAIRES EN SERIES PROCEDANT 8U1VANT DES POLYNOMS DE TCllKBJCHEFK. 
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On a donc 
а ^ \i. ѵЗлг / r / 
ß 2p ^2 
а etant un nombre fixe ne dependant pas de w. 
On voit que le polynome s'ecartant le moins possible de la fonction cousideree fournit 
uue approximation d'ordre plus eleve que l'approximation fournie par le polynome P (x) 
pour la тёте fonction. 
II s'ensuit que les polynomes consideres ne peuvent pas, en general, coincider l'un avcc 
l'autre. 
39. En terminant, mcttons en regard tous les resultats des recherches precedentes. 
Soit 
%{x) (k = 0,1,2,...) 
une suite quelconque de polynomes de Tchebicheff, dont la fonction caracteristique p(x), 
etant positive dans l'intervalle donne (а,Ъ), satisfait ä la condition de Lipschitz 
\p{x')- — p(x)\ < P\x- — x\, 
P etant un nombre fixe, x et x etant deux valeurs de x appartenant a l'intervalle (а, Ь). 
I er cas. La fonction p (x) peut, dans certains cas, s'annuler aux extremites de l'inter- 
valle (а, Ъ). 
Dans се cas: 
(a) Toute fonction f(x) dont la derivee du premier ordre satisfait a la condition de 
Lipschitz 
\f'{x') — f [x)\ < M\x'—x\, 
se developpe, dans tout intervalle (а, ß), inteiieur ä l'intervalle (а, Ъ), en serie uniformement 
convergente dans (а, ß) de la forme 
oo Ъ 
(I) f(x) =2 A k % 0*0, A lc = J P ( x ) f( x ) Ь (*) dx - 
fc=0 а 
(b) . Le module du terme complementaire 
OO 
/с— ?nl '•' ■ ■ 1 
