58 W. S ТЕ KL 0 FF. SUR UNE APPLICATION DE LA THEORIE DE FERMETURE AU PROBLEME DU DEYELOPPEMENT 
(5). Dans le cas particulier ou Ton prend pour les polynomes ср /£ (ж) les polynomes 
X h (x) etant les polynomes de Legendre, le theoreme precedent peut 6tre remplace par le 
suivant : 
Soit f{x) une fonction dont les derivees successives jusqu'ä l'ordre n -+- 2 satisfont 
aux conditions 
< Ж, (fc=0,l,2,...., K +2) 
Ж designant un nombre fixe donne ä l'avance. 
La limite superieure de l'erreur absolue qu'on commet en remplagant une teile fonc- 
tion, dans l'intervalle ( — 1, +1), par le polynome 
n 4-1 
P n (x) = 2 Ä k Ф к (x), A h = J fix) Ф, : (x) dx 
k=o —l 
est egale а 
V 2п-ьЗ 1-3>5-.--(2и-ь1) 
<т etant une constante de meme espece que la constante т du theoreme (y) l ). 
(z). Queis que soient les polynomes ® k (x) de Tchebicheff, l'ecart du polynome P(x), 
aux extremites a et & de l'intervalle (а, Ь), d'une fonction f(x) satisfaisant aux conditions 
du theoreme (8), s'exprime par les formules: 
Pn(«)l = !/(«)- ^.W |-=^f^5i 
в-ы 
ou B n et C n sont les constantes, definies par les equations (82), (82J et (82)'. (82J' 
du n°34. 
1) Si nous nous bornerons au cas oü il s'agit de l'approximation dans uu iutervalle (а, ß), situe ä l'interieur 
de l'intervalle ( — 1, + 1), le tlieoreme (8) aura Heu pour toute fonction f (») admettant les derivees successives 
jusqu'ä, l'ordre n + l, assujetties aux conditions (III) [Comparez le theoreme (rf)]. 
