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W. STEKLOFF. APPLICATION DE LA THEORIE DE FERMETURE A LA SOLUTION 
d'etre publiee par M. A. Markoff dans sou Supplement ä la З іёте edition russe du «Calcul 
des probabilites» (St. Petersbourg, 1913, Biceutenaire de la loi des grands nombres). 
3. L'etude du probleme (Б) ainsi que de certains autres qui eu decoulent fera l'objet 
du Memoire actuel. 
Bien que la Solution du probleme (B) se deduit, comme nous l'avons deja dit, des 
recbercbes de M. A. Markoff et de T. Stieltjes, fondees sur la theorie des fractions con- 
tinues et sur la methode de Bienayrne-Tchebicheff (methode des moments), je те per- 
mets de reprendre la question, en la considerant d'un point de vue tout ä fait differente. 
a savoir du point de vue de la theorie de fermeture des systemes de fonctions orthogonales 
appliquee au cas particulier des polynomes de Tchebicheff-Hermite. 
Cette methode nous permet de rattacher aux problemes enonces plus haut encore un 
probleme, a savoir le probleme du devcloppement des fonctions arhitraires en series procedant 
suivant les polynomes de Tchehicheff; eile fournit, en тёте temps, un moyen tres simple 
pour resoudre a la fois tous les problemes dont il s'agit et dont chacun presente, d'ailleurs, 
un interet par lui тёте independamment des autres. 
4. L'etude des questions, dont nous venons de parier, depend essentiellement de la 
definition que nous donnons au Symbole 
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designe par le mot «integrale», ou, en d'autres termes, des bypotheses, plus ou moius gene- 
rales, faites au sujet des fonctions f{x) et j\{x) qui figurent sous les signes des integrales. 
D'autre part, quelle que soit la definition adoptee de l'integrale, il faut toujours distin- 
guer deux cas: 1) les limites a et Ъ des integrales sont des nombres rinis ou 2) les limites 
a et Ъ devienuent intimes. 
Le cas le plus simple est celui, ou les fonctions f(x) et f^(x) sont iutegrables au sens 
ordinaire de Rieraanu et les nombres a et & sont fiuis. 
Nous avons deja indique une application de la theorie de fermeture ä la Solution des 
problemes qui nous interessent dans le Memoire: «Quelques applications nouvelles de la 
theorie de fermeture etc.», ou nous nous sommes borne precisömeut ä ce demier cas parti- 
culier. 
Nous allons considerer, dans le Memoire actuel, la question dans les hypotheses beau- 
coup plus generales, lorsque la methode du Memoire precedent ne s'applique pas; nous com- 
niencons par le cas, ou les limites a et Ь des integi - ales sont finies et passons ensuite au cas 
plus difficile, ou ces limites devienuent intiuies. 
Avant d'aborder les questions dont il s'agit, nous demontrerons, moyeunaut la theorie 
