DE CERTAINES QUESTIONS QUI SE MTTACHENT AU PROBLEME DES MOMENTS. 9 
qui montre que 
X 
Р И ^)=]"Р?(*)*8-Ь^ 
а 
ой Cj est une constante. 
II suffit mainteuant de se rappeler la formule corniue de M. Liapounoff pour s'assurer 
qu'oo peut remplacer, dans toutes les formules de n os 6 et 7, f'(x) par <р(ж) et p n (x) par р^'(ж) 
sans rien changer aus raisonnements. 
De cette maniere nous arriverons ä l'inegalite 
(17) e-* x2 \? n (*)\ < 
qui conduira, comme celle de (15), ä l'inegalite (1 5 г ). 
Cette derniere inegalite donne, pour les valeurs de x comprises entre a et b, 
n 
fc=0 
pour w>n 0 , w 0 etant un entier couvenablement choisi, ^4 designant la plus grande des va- 
leurs absolues de nombres donnes a et b. 
Remarquous, en passant, que l'inegalite (17). que nous allons prendre pour le point 
de depart de toutes les recherches qui vont suivre, conduit, entre autres, ä ce theorerae: 
Theoreme I. Toute fonction f(x) susceptible de la forme 
X 
(16) , f(x) = j\{x)dx -+- G 
а 
se developpe, dans tout Intervalle (a, b), a et b etant des nombres arbitrairement donnes, en 
serie uniformement convergente de la forme 
со -neo 
f(*)=2 Л ?*(*). А = je-™*f{x) b (x)dx, 
Ä=0 — oo 
ср л (ж) (k== 0,1,2,. . . ) etant les polynomes de Tchebicheff- Her mite definis par les equa- 
tions (5) et (6) 1 ). 
*) Compar. ä cet egard mon Memoire: «Sur certaines egalites generales communes ä plusieurs series de fonc 
tions etc.» Memoires de l'Academie des Sciences de St. Petersbourg, 1904, Vol. XV, nO 7, p. p. 21, 22. 
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