DE CERTAINES QUESTIONS QUI SE EATTACHENT AU PROBLEME DES MOMENTS. 
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quelle que soit la fonction satisfaisant a la condüion (39) et quels que soient les points 
x x et x 2 de V Intervalle (а, b). 
Nous obtiendrons, de la meme mattiere, corame im corollaire du theoreine IV, le 
suivant : 
Theoreme IV (a) . Toutes les fois que la fonction f(x), assujettie am conditions du theoreme 
precedent, satisfait а V infinite d'equations (40), eile satisfait necessairement aux suivantes 
x, 
^f(x)x k dx — 0. (fc — 0,1,2,. ..) 
De ce theoreme resulte, comme un cas tres particulier, le theoreme counu de Liouville- 
Stieltjes. 
Supposous, en effet, que f(x) soit continue daos (а,Ъ) et satisfasse aux conditions (40). 
II est evident que le theoreme IV (ö) s'applique ä ce cas particulier et donne 
X 
jf(x)dx = 0, 
а 
quelle que soit la valeur de x appartenant ä l'intervalle (a, b), a et b ctant des nombres finis. 
II s'ensuit que 
f(x) = 0 dans l'intervalle (a, b), 
c'est ä dire, il n'existe aueune fonction continue поп identiquement nulle qui puisse satisfaire 
ä Vinfinite de conditions de la forme 
ъ 
jf(x)x''dx — 0. (7c = 0,1,2,...) 
а 
C'est precisement le theoreme de Liouville-Stieltjes. 
18. Nous avons pris pour le point de depart de nos recherches les polynomes de Tche- 
bicheff-Hermite, mais il est evident que dans le cas ou les limites a et & des integrales 
restent finies, l'emploi de ces polynomes n'est point indispensable; on pourra les remplacer, 
тёте avec plus de commodite, par toute autre suite de polynomes de Tchebicheff qui 
peuvent servir du developpement des fonetions continües, dans im intervalle donne (a, &), 
en series infinies a coefficients formes par la loi de Fourier. 
