DE CERT AINES QUESTIONS QUI SE RATTACHENT AU PROBLEME DES MOMENTS. 49 
C'est l'extension du theoreme de Liouville-Stieltjes au cas oü les limites a et b des 
integrales deviennent infinies. 
37. Nous avons vu plus haut (n°17, Section III) que la seule hypothese de la conti- 
nuite de la fonction f(x) suffit pour que le theoreme de Liouville-Stieltjes soit vrai dans 
le cas ou les limites a et & restent finies. 
Dans le cas ой a et Ъ deviennent infinis cette hypothese jointe ä la condition que les 
integrales, qui figurent dans les equations (G8), aient un sens determine est, en general, 
insuffisante; il faut encore assujettir la fonction f(x) ä la condition (d) du n° 19. 
Or, cette condition entraine, evidemment, l'existence des iutegrales (68). 
Donc le theoreme de Liouville-Stieltjes a Heu toujours, pourvu que la fonction 
continue f{x) satisfasse ä la seule condition (d), qui presente, de la sorte, une condition süf- 
fisante pour l'exactitude de ce theoreme dans le cas des limites infinies des integrales. 
D'autre part, il est aise de prevoir que saus cette derniere condition le theoreme, dont 
il s'agit, peut devenir illusoire. 
La demonstration exige, en effet, que l'integrale 
Ä Ä 
jp n И I № \dx = e~ ^ ?n © je*** I f(x) I dx, Ä > A, 
Л А 
tende vers zero, lorsque n et A tendent vers l'infini. 
Supposons que la fonction f(x) ne satisfasse pas ä la condition (d) et que l'int6grale 
A' 
je™ 2 1 f (x) I dx 
А 
croisse, par exemple, indefiniment, lorsque A tend vers l'infini, quel que soit le nombre 
positif а different de zero. 
Bien que l'expression 
tend vers zero, lorsque n tend vers l'infini, mais le produit 
A' 
Зля. Физ.-Мат. Отд. 
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