SUR QUELQUES APPLICATIONS d'uNE IDENTITE ELEMENTAIRE. 5 
DU Ton а pose 
(7,) Ф (x) = (CO) dx^"^ = j{x — ^r-' Ф {,) dz. 
а а 
On arrive ä cette proposition importante: 
Quelle que soit la foncfion f{x) admeffcmf les derivees continues jusqiCä Vordre n dans 
Vintervalle (a, b) et quelle que soit une autre fonction Ф(х) safisfmsant ä Veqnafion 
ъ 
(8) ^Ф{х) P^_^{x)dx = 0, 
а 
on а toujours 
Ъ Ь X 
(9) jm Ф (x) dx = J/(") {X) ( J(:r — zf-' Ф {г) dz ) dx. 
а а а 
5. Cousiderons uu peu plus attentivement les conditions que requation (8) impose u la 
fonction Ф{х). 
Montrons que Ф (ж) doH changer son signe поп moins que n de fois dans Vinter- 
valle {a, h). 
Supposons, au contraire, que le nombre des cliangements de signe de la fonction Ф (x), 
satisfaisant а l'equation (8), soit moiudre ou egal h n — 1 . 
Dans cette hypotliese on pourrait construire un polynome Рп^^{х) tel qu'on ait, par 
exemple, 
|ф(ж) P^_,{x)dx>0, 
ce qui est impossible, si Ф{х) satisfait ä l'equation (8). 
La proposition enoncee est ainsi etablie, 
Supposons maiutenant que le nombre de cliangements de signe de Ф{х), dans Vinter- 
valle {a, b), soit egal precisement ä n. 
Cette condition etant rempUe, la fonction 9 (ж), definie par la formnlc nc changc 
pas son signe dans Vintervalle considerS (est une fonction monotone dans (a, h)). 
On а 
= fф{x)dx^"-''^ 
(fc = 0,1,2,...,«-!) 
