6 W. STEKLOFF (sTEKLOY). 
et 
,p(«)(a;) = Ф(ж). 
Les equations (6) [ou celle de (8)] montrent qua, dans le cas dont il s'agit, la fouction 
tp (ж) ainsi que ses derivees siiccessives jusqu'a l'ordre n — 1 s'amiulent aux extremites а 
et h de l'intervalle (a, b). 
D'autre part, d'apres l'hypothese faite, sa derivee de l'ordre n n'admet que n cliauge- 
ments de signe daus le merae intervalle. 
II s'ensuit immediatement que ^ {x) est, en effet, une fonction mouotoue dans (a, b). 
6. Appliquons maiutenaut la formule (9) ä la fonction Ф {x) assujettie aux conditions 
du n" precedent. 
La fonction ® (ж) etant monotone dans («, le tli^oreme de la moyeune donne 
ъ ъ 
( 1 0) Jf {x) 9 {x) dx = /■(") Jcp {x) (Ix, 
а а 
^ designant un nombre compris entre а et b. 
Or, en vertu de (7^) et (4), 
ъ ъ 
J(p (x) dx = j{b xf Ф {x) dx, 
а и 
d'ou, enfin, en vertu de (8), 
ъ ъ 
(11) J<p {x) dx = j Ф (x) ж" dx. 
а 
En se rapportant raaintenant а la formule (7) [ou ce qui revient au meme а celle de (^9) J, 
on en tire, en tenant compte de (10) et (11), la formule suivaute 
b 
(12) J 'f{x) Ф (x) dx = ^-^^ J " Ф (x) x" dx, 
qui exprinie ce tli6oreme: 
