SUR QUELQUES APPLICATIONS u'UNE IDENTITE ELEMENT AIUE. 
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Toute fondion Ф(ж), satisfaisant ä n conditions 
ъ 
(6) jф(x)x'^ dx = 0 (Je = 0,1, 2,... , n—l) 
a, 
et n'admettant que n cJiangements de signe dans {a, b) (et rien que n), satisfait ä Veqimtion 
(12) , quelle que soit la fonction f{x) ayant les deriveesjusqu^ä Vordre w, continues dans («, &). 
Cette proposition importante n'est qu'uue simple cousequence de l'identite fonda- 
mentale (1). 
7. L'im de cas simples, ou les conditions du n** precedent sont evidemmeut remplies, 
est celui, lorsqiie la fonction Ф(ж), verifiant les equatioiis (6), admet la derivee de l'ordre w, 
monotone dans (a, Ъ), ou, plus generalement, lorsqu' eile est egale au produit de deux 
fonctions 2^ (x) et (x) 
Ф{х) = p{x) f,{x) 
dout la premiere ne cliange pas sou signe dans (a, b), la seconde admet la derivee 
continue et monotone dans cet intervalle. 
Le cas le plus simple parrai ceux-ci correspond ä la supposition que f\ (x) est uu poly- 
nome de degre n. 
Arretons nous ä ce cas le plus simple et le plus interessant. 
Designant ce polynome par 
on peut ecrke 
(13) Ф{х) =^ p{cc) 
Nous allons cousiderer la fonction p (x) comme dounee et supposer que p (x) reste posi- 
tive dans (a, b), ce qui ne restreint pas la generalite. 
Comme la fonction Ф (x) doit satisfaire aux equations (6), ou, ce qui revieut au meme, 
ä Celle de (8), on obtient cette equation pour <р„(ж) 
ъ 
(14) . Ji^(^)?n(^)^«-i(^)^^ = ^- 
а 
