SUR QUELQUES ARPLICATIONS d'uNE IDENTITE ELEMENTAIRE. 47 
La formule (87) founiit donc l'expression precise du reste \ de la scric (88) sous la 
forme 
(89) . В = ^''^'"^ А 
" (п-Ы)!«„_, ^«Hi- 
ll ne noiis reste iiiaintenaDt qu'appliquer ä l'integrale Ä^^ ^ la Ibrmule (19) du іГ 8, 
pour en deduire 
(90) ^^ y(n..)(g)p-b.) (^^ 
" [(n-+-l)!p ' 
У) designant un autre norabre compris entre а et b. 
С est precisement cette forme du terme complementaire de la seric (88) qiii а ete donnöc 
pour la premiere fois par P. L. Tchebicheff. 
Reraarquons qu'une demonstratio!! simple de la formule (89) а ete donnee par M. N. So- 
nin, dont la mort prematuree а frappe recemmeut notre Academie, dans son Memoire public 
en 1888 et cite plus haut (n" 8). 
La demonstration que noiis venons d'indiqtier, ayant une certaino analogie avec cellc 
de M. N. Son in, est encore plus sim^üe et la formule (88) se deduit immediatement comme 
une consequence particuKere de VidenfUe fondamentale (1). 
40. Nous avons etabli la formule (90) dans l'hypothese que la fonction /'^""''^^(ж) ne 
change pas son signe dans l'intervalle (a, &), mais il est aise de s'assurer que cette restriction 
u'a rien d'essentiel et que la formule {90) reste toujours vra 'ie, qiielles que soient les fonctions 
f{x) et <р(ж) ai/ant les derivees siiccessives jusqu' ä Vordre w -ь 1, continues dans {a, h). 
Designous par m, le module de la plus petite valeur de la fonction f"~^^^{x) dans l'iuter- 
valle (a, b), par M sa valeur positive la plus grande et posons 
(91) fA^) = f{^) 
(п-ь1)! 
f,ix) = fix) - 
Quelle que soit la fonction f(x), les derivees 
(92) f^"''-'\x) = f"^'\x) H- w, 
f(^^-'\x) = f^"''-'\x) — M 
restcnt monotones dans («, />). 
