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JULIUS KRAMER, 
Nach Oppolzer wird: 
iLl) = —rsimt -r = cos M 
ov or 
dy . dy . 
— r cos ti cos i -^r^ = sm u cos ^ 
dv dr 
ds . . dz . . . 
— ^ = r cos u sm i — — = sm u sm ^ 
ov or 
117a) —r—r~ — — ^sin^^tg|■^ 
— j'cosMtgl-i . ■ = — rsm^^tg^ 
siniö^l ösm^ 
= — r cos u -I—. — 7 = r sm m. 
sm*ö^ ösmi 
Führen wir nun die Ausdrücke 116) und 117) in die Grleichungen 112 a) ein 
und vereinigen das Zusammengehörige, so erhalten wir Formeln folgender 
Gestalt : 
118) cosßJl = ^i^ü + ^,^>^ + ^3sin iJil + Ä^Jsmi 
Jß = B^Jv + B^Jr + B^siniJSl+B^J smi. 
Zu diesem formalen Resultate hätten wir auch direkt kommen können, wenn 
wir A und ß gleich in Funktion der v etc. geschrieben hätten: 
also 
I = cp (v, r, Sl, sio. i), 
118a) cosßJK = cos/J-^f- ^v + cos/3-^^r + cosj8- — — — sin i^^l + cos ß . J sin 
dr ^ sinidSl dsmi 
Jß = ^Jv + ^Jr + —^jSl+^J,mi. 
dv dr sinidSl ösm^ 
Die Vergleichnng von 118) mit 118 a) unter Berücksichtigung von 112 a), 116), 
117) und 117 a) gibt uns sofort die Werte für die cos/3-|^ etc., welche sich 
direkt, d. h. ohne den Umweg über die x, y, s nicht bequem ermitteln lassen. 
119) cos/3-^^ = [sin w sin (A — ft) + cos cos i cos (A — iQ,)j = J., 
ÖA 1 
cos ß -^y = — — [cos u sin (A — ^ ) — sin « cos i cos {X — Sl)] = 
