UeBER den EINFLUSS DEB DiFPRACTION AN FeENEÖHREN AUF LiCHTSCHEIBEN. 9 
J^^ [s) = ~\ COS {nw — z sin w) dw 
wo der Index n eine ganze Zahl oder 0 bedeutet. Ausserdem hat В es sei noch die andere 
Integraldarstellung gefunden : 
'^n (^) = 1.3.5.!!^(2n-l) - • è M^OS {Z sin W) СОЛ dw 
welche später von Lommel') zum Ausgangspunkt für die Erweiterung der Bessel'schen 
Function auf gebrochene Indices genommen wurde. 
2) Aus vorstehender Definition lässt sich die stets convergente Reihenentwickelung: . 
Jn (^) — 2«. и! ■ ( ^ 
2^. ni \ 2.{2п-л-2) 2.4.(2>n-2) (2ПН-4) 
herleiten, deren Bildungsgesetz leicht zu übersehen ist. Für^= Ofolgt daraus -^ = -^^i^ 
welcher Wertli das absolute Maximum der Function ^^Ц^^ bezeichnet, und insbesondere 
Jp(0) = 1 = ^ etc. J^[0)== 1 ist ferner der grösste Werth, den die Bessei- 
schen Functionen überhaupt erreichen. 
3) Die obige Reihe eignet sich vorzüglich zur numerischen Berechnung von J^^ (z), 
wenn z klein ist; für grössere Argumente wird sie aber beschwerlich und fast unbrauchbar, 
weil die Convergenz nicht gleich bei dem ersten Gliede, sondern um so später eintritt, je 
grösser z ist. Für diesen Fall hat jedoch bereits Poisson^), und später in etwas allgemei- 
nerer Form Hansen^), eine semiconvergente Reihenentwicklung kennen gelehrt, welche 
den wahren Charakter der Bessel'schen Functionen für grosse Argumente offenbart und 
sich zur numerischen Berechnung derselben ausserordentlich brauchbar erweist: 
n.(n — 1) 
(- 1) 2 . _ 
l/^^" cin/^_._/ h (l^-4n'') jS^-in^) . (12-4w^) (3'-4w2) (Ь^-іп^) (І^-іп^) ) 
У -^'^^^[^-^у—^) 'т)'Ѵ 2lW • • •) 
Diese Reihe hat die Eigenschaft, durch jedes neue Glied das numerische Maximum des ün- 
1) Lommel, Studien über die Bessel'schen Func- 
tionen 1868. (Nebst Tafeln für Jq (г) und J, (г)). 
2) Poisson, Journ. de l'Éc. Polyt. Gab. 19, pg. 349. 
Мѳшоігеа de l'Acad. Imp. des sciences. ѴІІшѳ Série. 
3) Hansen, Schriften der Sternwarte Seeberg. Gotha 
1843, nebst Tafeln; Lipschitz, Crelle's Journal, Band 
56, p. 196. 
