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S. S о M о F F , 
sidérerons comme l'accélération du premier ordre; sa dérivée géométrique sera l'accéléra- 
tion du second ordre; celle-ci, à son tour, a une dérivée géométrique qui sera l'accélération 
du 3""^ ordre; ainsi de suite. En général, une accélération d'ordre supérieur est la dérivée 
géométrique de l'accélération de l'ordre immédiatement inférieur. 
La première idée des accélérations de divers ordres est due, autant que je sache, à 
M. Abel Transon'). Il s'est servi de l'accélération du second ordre pour déterminer 
les grandeurs qui se rapportent à la seconde courbure d'une courbe, savoir: la déviation, 
le rayon de la sphère osculatrice et l'angle de torsion, en supposant que la courbe est rap- 
portée à un système de coordonnées rectilignes et rectangulaires. Ensuite M. Résal, par 
la voie syntétique, a trouvé des formules générales pour exprimer les projections de l'ac- 
célération du second ordre sur la tangente et sur les deux normales principales, et les a 
appliqué la solution de plusieurs questions intéressantes relatives à la courbure des lignes 
et des surfaces, ainsi qu'à la cinématique d'un point et d'un système invariable. 
Le mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie contient l'exposé des princi- 
pes analytiques, généraux, pour le calcul des accélérations de divers ordres et leur appli- 
cation à la théorie des courbes. Ces principes peuvent être utiles pour la solution de beau- 
coup de questions de Géométrie et de Mécanique, en procurant de nouvelles simplifications 
et généralisations dans l'analyse. Ils donnent des moyens pour étudier les propriétés des 
courbes et les circonstances du mouvement indépendamment de tout système de coordon- 
nées, ou en rapportant les points de l'éspace à un système de coordonnées quelconques, 
rectilignes ou curvilignes, les plus convenables à la question. De cette manière on s'af- 
franchit des calculs embarassants de la transformation des coordonnées rectangulaires, que 
l'on a coutume d'employer, souvent sans aucune nécessité. 
J'établis en prèmier lieu une formule fondamentale pour la dérivée analytique d'un 
produit de deux droites par le cosinus de leur angle. Les produits de cette espèce se ren- 
contrent à chaque instant dans la Géométrie et la Mécanique, et pourraient recevoir le nom 
commun de moments, parce qu'un produit pareil ne sera autre chose que le moment ou le tra- 
vail d'une force, si l'une des droites, qui entrent dans ce produit comme facteurs, repré- 
sente la force et l'autre le déplacement du point d'application de la force. Mais comme le 
mot moment est déjà employé très souvent dans la Mécanique dans divers sens, nous adop- 
terons la dénomination qu'à donné M. Résal: produit géométrique. 
L'expression de la dérivée analytique d'un produit géométrique d'ordre quelconque 
est analogue à celle de la dérivée d'un produit ordinaire de deux facteurs, et présente 
une généralisation de celle-ci. Elle me sert premièrement à démontrer des formules 
qui donnent les produits et les projections sur un axe quelconque des dérivées géomé- 
triques de divers ordres d'une fonction représentée par une droite variable en gran- 
1) Journal de Liouvüle T. X. Note sur les principes de 
la Mécanique. L'accélération du second ordre est nommée 
par l'auteur virtualité. 
2) Suraccâération, suivant la dénomination de M. 
Résal. 
