MÉMOIEE SUE LES ACCÉLÉEATIONS DE DIVEES OEDEES. 
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deur et en direction. Je trouve ensuite des formules pour les projections des dérivées 
géométriques sur trois axes, dont l'un a la direction de la fonction primitive et les deux 
autres lui sont perpendiculaires et indiquent les directions de deux rotations, au moyen des- 
quelles on peut produire un déplacement infiniment petit du plan méné par la droite, qui 
représente la fonction primitive , et par sa dérivée géométrique du premier ordre. Appli- 
quant ces formules aux accélérations successives du mouvement d'un point, j'obtiens les pro- 
jections des accélérations de divers ordres sur la tangente et les deux normales principales 
de la trajectoire. Ces résultats ne dépendent d'aucun système de coordonnées, et sont ex- 
primés uniquement en fonction: de la vitesse, des rayons de première et seconde courbure 
et des dérivées analytiques de ces trois fonctions par rapport au temps. 
Les expressions ordinaires des rayons de première et seconde courbure en coordon- 
nées rectilignes et rectangulaires se déduisent facilement et directement des formules qui 
déterminent ainsi les accélérations du premier et du second ordre. 
Au moyen des accélérations de divers ordre on peut exprimer indépendamment des 
coordonnées les conditions de contact de deux courbes. Deux courbes qui ont en un point 
commun un contact de l'ordre, dont l'indice est ou un nombre entier w, ou un nombre 
fractionaire compris entre n — 1 et n, étant considérés comme les trajectoires de deux 
points mobiles qui passent en même temps par le point commun, doivent avoir au point 
commun les mêmes vitesses et les mêmes accélérations successives, jusqu'à l'ordre n — 1 
inclusivement. Considérant en particulier les conditions de contact du 3""* ordre, ainsi 
posées, je détermine indépendament des coordonnées le rayon et le centre de la sphère 
osculatrice d'une courbe en un point donné. 
La vitesse et les accélérations successives peuvent encore servir à développer en série 
la projection sur un axe quelconque d'une corde de la trajectoire, de longueur finie. Le 
carré de la corde, la corde même, et ses projections sur la tangente et les deux normales 
principales, se développent en séries, dont les coéfficients s'expriment facilement au moyen 
des produits géométriques de la vitesse et des accélérations de divers ordres, et se ré- 
duisent définitivement à des fonctions de la vitesse, des rayons de première et seconde 
courbure et des dérivées analytiques de ces trois grandeurs. Si l'on prend l'arc de la tra- 
jectoire pour la variable indépendante, l'expression générale que je trouve pour la corde se 
réduit à celle que M. Serret a donné dans la note I du 2"'^ volume de la 6"" édition du 
Traité élémentaire de calcul différentiel et de calcul intégral de Lacroix (1862). 
Après cela je démontre plusieurs propositions relatives aux déplacements infiniment- 
petits arbitraires, que l'on peut nommer variations géométriques du rayon vecteur mené 
d'une origine fixe au point mobile. Je forme ensuite les expressions des moments de la vi- 
tesse et des accélérations de divers ordres par rapport à un déplacement arbitraire, en 
supposant que le point mobile est déterminé par des coordonnées quelconques, rectilignes 
ou curvilignes. Les expressions des moments de la vitesse et de l'accélération du premièr 
ordre sont comprises dans les équations générales de la Dynamique, telles qu'elles sont 
