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S. SOMOFP, 
données par Lagrange. Et pour le moment d'une accélération d'ordre quelconque, supé- 
rieur au premier, je trouve une formule nouvelle, de même type que les formules de la Dy- 
namique, et digne de remarque par sa généralité et les conséquences qui en dérivent. — 
De l'expression du moment on tire, sous la forme la plus générale, diverses autres grandeurs 
qui servent à déterminer la vitesse ou une accélération d'ordre quelconque. Pour déter- 
miner la grandeur et la direction d'une droite qui représente, soit la vitesse, soit une ac- 
célération, on la considère comme la diagonale d'un parallélépipède, dont les arêtes ont 
des directions connues, données dans chaque système de coordonnées. Ce sont, ou les di- 
rections des tangentes aux intersections des surfaces coordonnées, et qu'il est convenable 
de nommer axes des coordonnées, ou les normales à ces surfaces. On a ainsi deux paral- 
lélépipèdes, qui ont une diagonale commune. L'expression du carré de la diagonale du pre- 
mier parallélépipède contient six fonctions de coordonnées, dont la forme dépend unique- 
ment de l'espèce de coordonnées. Et dans l'expression du carré de la diagonale du second 
parallélépipède ces fonctions peuvent être remplacées avec avantage par six autres, dont 
trois sont les paramètres différent'wls du premier ordre, que Ж. Lamé considère dans le 
système de coordonnées orthogonales, et les trois restantes sont les cosinus des angles for- 
més par ces paramètres portés sur les normales aux surfaces coordonnées, dans le sens 
des directions qui répondent aux accroissements positifs des coordonnées. Des équations 
qui donnent les moments on tire des formules pour calculer successivement les projections 
des accélérations sur les axes des coordonnées. La moitié du carré d'une accélération se 
présente sous la forme d'une fonction quadratique par rapport à ces projections et joue 
dans l'analyse, qui se rapporte aux accélérations d'ordres supérieurs, le même rôle que la 
force vive dans les équations de la Dynamique. Cette valeur étant connue, on trouve très 
simplement: a) la grandeur de l'accélération, h) ses projections sur les directions des para- 
métres différentiels, c) ses composantes suivant ces directions et d) ses composantes suivant 
les axes des coordonnées. Au moyen de ces formules on développe facilement en séries, 
suivant les puissances du temps, les projections sur les axes des coordonnées et sur les di- 
rections des paramètres d'une corde de longueur finie. Ces développements peuvent servir 
dans beaucoup de cas à l'intégration approximative des équations du mouvement. 
Les formules qui déterminent la vitesse et les accélérations du premier et second ordre, 
s'appliquent facilement à l'étude des propriétés des courbes. Je tire de ces formules les 
cosinus des angles que font les deux normales principales, ou les directions des deux rayons 
de courbure, avec les axes des coordonnées et les directions des paramètres différentiels. 
J'obtiens ensuite, sous la forme la plus générale, les expressions des deux rayons de 
courbures. 
Pour vérifier les formules générales par des résultats déjà connus, je les applique à 
un système de coordonnées orthogonales quelconques. Des formules, qui expriment les pro- 
jections sur les axes des coordonnées de l'accélération du premier ordre, on déduit très 
simplement l'équation de l'indicatrice d'une des surfaces coordonnées et la démonstration 
