MÉMOIRE SUR LES ACCÉLÉRATIONS DE DIVERS ORDRES. 
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du théorème de M. Dupin relatif à trois surfaces orthogonales, savoir: «que ces surfaces 
tracent l'une sur l'autres des lignes de courbure. » — L'équation de l'indicatrice donne les 
expressions que M. Lamé a trouvées pour les courbures principales des surfaces coordon- 
nées, en fonction des paramètres différentielles et de leurs dérivées partielles par rapport 
aux coordonnées. Introduisant ces courbures à la place des paramètres dans les formules 
qui expriment les projections de l'accélération du premièr ordre sur les axes, j'obtiens 
les formules, données par M. Giraudet') et M. Lamé^). Je trouve des expressions sem- 
blables aussi pour les projections de l'accélération du second ordre. 
Si la trajectoire est une courbe tracée sur l'une des surfaces coordonnées, les pro- 
jections de l'accélération du premièr ordre s'expriment très simplement au moyen de la 
courbure d'une section normale tangente à la trajectoire, et de la courbure géodésique 
de celle-ci. D'où l'on tire directement: le théorème de Meunier, l'équations des lignes 
géodésiques de Gauss, et les formules de M. Bonnet et de M. Liouville relatives 
à la courbure géodésique. Les projections de l'accélération du second ordre, dans le 
cas que nous considérons, s'expriment aussi très simplement au moyen de la courbure 
d'une section normale, de la courbure géodésique et des dérivées de ces courbures par 
rapport à l'arc de la courbe. Je tire de ces expressions une formule générale pour le 
rayon de seconde courbure et pour l'angle de torsion. Cet angle se présente comme la 
somme de deux valeurs, dont l'une est la différentielle de l'angle formé par le plan oscu- 
lateur avec la surface, et l'autre est ce que M. Bertrand a nommé torsion géodésique. 
Au moyen des projections de la vitesse et des accélérations du premier et second ordre 
je trouve les projections sur les axes des coordonnées d'une corde très petite, appartenante à 
une courbe géodésique, dont la 4""' puissance est négligeable. Les expressions de ces pro- 
jections peuvent servir, comme l'a fait voir M. Puiseux, à démontrer l'important théorème 
de Gauss relatif à l'invariabilité de la courbure d'une surface qui se déforme, étant ap- 
pliquée sur une autre surface sans déchirures, ni duplicatures. 
Par les résultats que je viens de signaler, on peut déjà voir l'importance dans la Géo- 
métrie des formules que je donne pour déterminer les accélérations de divers ordres. Je 
me propose dans un autre ■ mémoire de montrer leur utilité dans la Mécanique analytique. 
1) Tlièse de Mécanique. 
I 2) Leçons sur les coordonnées curvilignes. 
