6 s. SOMOFF, 
Analyse. 
1. Soit t une variable indépendante que nous prendrons pour le temps, и une droite, 
de longueur finie et variable avec t en grandeur et en direction , que l'on peut par consé- 
quent considérer comme fonction de t. Pour déterminer la loi, suivant laquelle varie и 
avec t, substituons à и une autre droite 0Ä ménée à partir d'une origine fixe 0, et qui à 
chaque instant reste égale et parallèle à u. Cela posé, si le temps reçoit un accroissement 
infiniment petit dt, le point Ä recevra un déplacement infiniment petit AÄ', qui déterminera 
les variations simultanées et de la longueur, et de la direction de u. En faisant évanouir 
AÄ' 
dt, on obtiendra pour le rapport une limite, qui est la vitesse du déplacement AÄ , di- 
rigée suivant la tangente, et qui sera nommée dans la suite dérivée géométrique de la fonction 
и '). Nous la désignerons par w,. Le produit U\dt sera nommé — différentielle géométrique 
deu. Négligeant les infiniments petits d'ordres supérieurs, on peut considérer Uidt comme 
représenté en grandeur et direction par le déplacement AA'. 
La dérivée géométrique de u^ sera la dérivée géométrique de second ordre de la 
fonction u; la dérivée géométrique m, d« sera la dérivée géométrique de troisième ordre de 
la fonction г«, et ainsi de suite. Si, en général, est la dérivée géométrique de l'ordre n 
de la fonction primitive w, le produit dt"' sera sa différentielle géométrique de l'ordre n. 
La dérivée géométrique dt est la résultante de deux différentielles partielles, sa- 
voir: 1) de la différentielle analytique du, qui provient de l'accroissement de la longueur 
de la fonction m, et 2) de la différentielle géométrique AC qui provient du changement de 
la direction de u, la longueur restant invariable. Cette seconde différentielle partielle peut 
être déterminée comme il suit: 
Portant sur la droite OA qui représente и une longueur OD égale à l'unité, soit a la 
vitesse du déplacément que reçoit le point D en vertu du déplacement AA'; le produit audt 
représentera évidement le déplacement AC, que recevrait le point A si la longueur OA 
restait invariable, et sera donc la différentielle partielle demandée. Ainsi Uidt est la résul- 
tante de du et de audt. 
Soit encore v une autre droite variable en grandeur et direction , et représentée par 
ОБ. Le produit des deux fonctions и et v par le cosinus de leur angle, c. à. d. uvcos(uv), 
sera nommé produit géométrique de и et de v. 
La différentielle analytique d'un produit géométrique s'exprime très simplement au 
moyen des fonctions, dont le produit est formé, et de leurs différentielles géométriques. 
Soit pour un instant trois axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy , Oz; x, y , z \qs 
coordonnées du point A, et a, Ъ, с celles de B. Les différentielles: dx, dy, dz seront évidem- 
1) Késal Traité de cinématiques pure. 
