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J. SOMOFF, 
par conséquent la projection de la vitesse v sur cet axe sera égale à une constante que nous 
désignerons par a. Le produit ag représentera l'aire du parallélogramme construit sur la 
vitesse et l'accélération du premier ordre ; on aura donc 
d'où l'on tire la valeur du rayon de première courbure. 
r ag 
5. Supposons que deux courbes ont un point commun, et présentent en ce point un 
contact, d'ordre entier n ou d'ordre fractionaire, ou incommensurable, compris entre les en- 
tiers n — 1 et n. Considérons ces courbures comme les trajectoires de deux points qui passent 
en même temps par le point commun; on aura la condition, que les vitesses et les accélérations 
jusqu'à l'ordre n — 1 dans les deux mouvements doivent avoir au point de contact respective- 
ment les mômes grandeurs et les mêmes directions. En effet, rapportant les deux courbes à 
un système de coordonnées rectilignes et rectangulaires ж, on sait que les dérivées 
дЩу. ßP^n âJ'^z 
dt^ * dî^' Jf^ pour tout m< И doivent avoir, au point de contact, les mêmes valeurs 
pour les deux courbes; or ces dérivées représentent les projections de l'accélération v„_^ 
sur les axes des coordonnées; par conséquent cette accélération doit avoir au point de 
contact la même grandeur et la même direction pour les deux courbes. Les conditions de 
contact s'expriment ainsi indépendamment des coordonnées. 
Pour donner une application de cette proposition, nous déterminerons la sphère oscu- 
latrice d'une courbe à double courbure. 
Il faut pour cela exprimer: premièrement la condition qu'une des courbes considérées 
est sphérique, et secondement, qu'elle a avec la seconde courbe, que nous supposerons 
donnée, un contact de 3""^ ordre. Ces deux conditions serviront à trouver le rayon et le centre 
de la sphère, à laquelle appartient la première courbe, et qui sera précisément la sphère 
osculatrice de la courbe donnée. 
Désignant par и le rayon de cette sphère, mené au point de contact, on doit avoir 
dt 
Effectuant la différentiation du produit u"^ = uu au moyen de la formule (1), on trouve 
uUi cos (mm,) -f- Ujti cos (u^u) — 2ш, cos (mw,) = о, - 
et comme «, est la vitesse г\ on aura 
uvcos{uv) = 0, 
condition qui exprime que la vitesse v est perpendiculaire au rayon «. La condition de l'in- 
