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courbes. Elles pourront donc être déterminées par les propriétés ou par les équations de 
la courbe donnée. Cela posé, les équations (23) et (25) donneront 
и cos (гір) = — 9 , и cos {iir) = — r^^ 
pour déterminer la direction du rayon и au moyen de ses projections sur les directions 
connues de ç» et de r. On portera ensuite sur cette direction la longueur de и déterminée 
par la formule 
Si la courbe donnée est spliérique, la valeur de и sera constante pour tous les points 
de la courbe; on aura donc 
çr -+- r (^j= constante. 
C'est le tbéorème de M. Serret'). 
L'équation (23) fait voir encore que le rayon de première courbure p d'une courbe 
spliérique a toujours une valeur finie; on tire de là cette conséquence, qu'on ne peut mener 
une ligne droite sur une sphère de rayon fini. 
Dans le cas de p constant, l'équation (25) se réduit à 
^cos(«r) = 0, 
et comme и n'est pas nul, on aura 
y cos {ur) = 0, 
ce qui exige que la courbe soit plane; par conséquent parmi toutes les courbes sphériques il 
n''y a que le cercle qui jouisse de la propriété d'avoir la première courbure constante. 
G. Soit ЛА' =w une corde de la trajectoire, qui joint les positions que le point mo- 
bile occupe à l'instant ^ et à l'instant t -+- Д^. La projection de cette corde sur un axe fixe x, 
de direction quelconque, est l'accroissement que reçoit après la projection sur cet axe 
du rayon vecteur ОЛ = и, mené d'une origine fixe 0 au point mobile à l'instant ^; par 
conséquent 
OU 
1) Journal des Mathématiques, de M. Liouvüle, T. ХУІ, Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, par La- 
croix, 6™^ édition, T. П. 
