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J. S о M о F F , 
ce qui réduit l'expression de p^ ,, à 
1 12 1 11 
Par conséquent, si l'on prend le point (^,, q^^ g.) pour l'origine d'un système de coor- 
données rectilignes, dont les axes sont les axes a, ß, y des coordonnées curvilignes, et si 
l'on pose 
4] ' ^ ^ ' ^ cos (ü, y) dt hp, i df = Y, 
on aura l'équation 
qui appartient évidemment à un paraboloïde. Ce paraboloïde est osculateur de la surface (73 
au point (r/,, q^^ 5з); ce qu'on peut facilement démontrer comme il suit: désignons par 
a, ß', y' les coordonnées rectilignes du point mobile par rapport aux axes a, ß, y à l'instant 
t-^ dt Qi négligeons les infiniment petits du З'"*" ordre; nous aurons 
a' = d -t- ^ ]l^p^ ^df 
de plus, en désignant par y" la coordonnée du paraboloïde parallèle à l'axe y et qui répond 
aux coordonnées a! et ß', l'équation (60) donnera 
^ — ^ dq,^ ^ dqj^ j — ï 
où « désigne une valeur infiniment petite du troisième ordre; la différence Y — qui 
représente la distance d'un point de la surface {%) à un point du paraboloïde (60), est donc 
un infiniment petit du 3"" ordre , est cela prouve que les deux surfaces ont un contact du 
second ordre. 
Le second membre de l'équation (60) ne contenant pas le produit des coordonnées 
aß, les axes a et ß sont tangents aux lignes de courbure de la surface (^з), ce qui dé- 
montre le théorème de M. Dupin. 
Supposant Y constant, l'équation (60) représentera l'indicatrice de la surface (qs) au 
point (5i, q-2, q-s). Les coefficients de a' etß^ dans cette équation déterminent, comme l'on sait, 
les courbures principales de la surface (q^). Désignant en général par Tj^^ celui des rayons de 
courbure principal de la surface (q/) qui appartient à l'intersection de cette surface avec le 
