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L'angle infiniment petit с?ср peut être considéré comme la déviation infiniment petite 
de la courbe géodésique par rapport à une autre courbe, tracée sur la surface (g'3), et qui 
fait avec deux positions consécutives de la courbe coordonnée (q^ ^з) le même angle 9. Le 
rayon de courbure 2 appartient à l'intersection de la surface (q^) avec le plan tangent 
à (q^) et r^, à l'intersection de la surface (q.^) avec ce même plan. Il est facile de voir 
que l'équation (70) ne diffère pas de celle que Gauss a donné pour déterminer une ligne 
géodésique'). 
Revenons à une courbe quelconque tracée sur la surface {q^) et concevons une courbe 
géodésique qui lui est tangente au point (^i, ga» Зз)- ^'^^ désigne par la déviation 
mentionée de cette seconde courbe, on aura 
d'(f> sin<p cos «p 
et on pourra réduire les formules (69) à 
Л =: p COS (pa) = sm cp , 
5 = J-cos(pß)=-^^cos9. 
La différence d'<^ — d(p qui entre dans ces formules a été nommé par M. Liouville 
ащк de contingence géodésique^). Le rapport ^'^ ^^^'^ est la courbure géodésique , que nous 
désignerons par ^ , et ^ sera le rayon de courbure géodésique. 
Cela posé, les formules précédentes deviendront 
i 1 ,4 sin ф 75 1 . a< COSCP 
^ = - cos(pa) =^ -^, 5=-cos(9ß) = -^; 
d'où l'on tire 
^ = ^sin 9 — Бсозф . . . . (71) 
Le second membre est la projection de l'accélération = ^ sur le plan tangent à la 
surface (^3) au point (g,, q^^ q^). Par conséquent si l'on porte sur cette projection une lon- 
gueur égale à et que l'on désigne par (p^) l'angle qu'elle fait avec p, on aura 
i = ^cos(p^), 
ou bien 
?=^cos(?^) (72) 
1) Bisquisitioms générales circa superficies curvas, XIX. Pour faire coïncider l'équation (70) avec celle de Gauss, 
on n'a qu'à remplacer les courbes — et parleurs expressions (61) et substituer ensuite: E, G,p, q et Ѳ, re- 
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spectivement a : , qi, q^ et ф. 
2) Application de l'analyse à la géométrie, par Monge, 5™« édition, note II, page 574. 
