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tielies. Si les vibrations sont accompagnées par des dilatations et contractions, la forme de 
cette équation dépend du paramètre différentiel du second ordre, qui représente la dilata- 
tion cubique. Dans la théorie mathématique de la chaleur c'est par le paramètre différentiel 
du premier ordre de la température qu'on détermine le flux de la chaleur qui traverse la 
surface du corps. Et la température dans l'intérieur du corps, quand le corps est homogène, 
doit satisfaire à une équation, que l'on obtient, en égalant la dérivée de la température par 
rapport du temps au paramètre du second ordre de la température, multiplié par une 
certaine constante. L'état stationnaire de la température dans un corps homogène est donc 
déterminé par la condition que le paramètre différentiel du second ordre est nul. Cette 
même condition sert à déterminer les surfaces isothermes. Elle joue aussi un grand rôle dans 
l'analyse pure, servant à la recherche des propriétés et au développement en séries de 
diverses fonctions. Dans les ouvrages de M. Lamé: sur les coordonnées curvilignes, la 
théorie de la chaleur, l'élasticité et les fonctions inverses, on peut voir toute l'importance 
des deux paramètres différentiels et étudier leurs diverses propriétés et applications. 
Le succès de la solution d une question géométrique dépend très-souvent du choix 
du système de coordonnées, et les coordonnées rectilignes sont pour cela insuffisantes. Par 
cette raison, on a besoin d'avoir les expressions des paramètres différentiels en coordon- 
nées curvilignes. Laplace a donné l'expression du paramètre différentiel du second ordre 
en coordonnées sphériques ou polaires. On doit à M. Lamé les expressions des deux para- 
mètres en coordonnées orthogonales quelconques. Cauchy et Jacobi onttrouvé les expres- 
sions du paramètre du second ordre en variables quelconques, qui peuvent représenter non 
seulement des coordonnées orthogonales, mais aussi des coordonnées obliques. Pour obtenir 
une expression en coordonnées curvilignes, on suppose ordinairement, que le point, auquel 
elle se rapporte, est primitivement déterminé par des coordonnées rectilignes, rectangu- 
laires, et on transforme ensuite ces coordonnées en celles que l'on veut introduire dans 
l'expression. Or ce procédé est souvent embarrassant, présentant des difficultés dans l'éli- 
mination des coordonnées primitives et de leurs dérivées partielles par rapport aux nou- 
velles coordonnées. Dans le mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie, je donne 
un moyen pour exprimer directement en coordonnées quelconques les paramètres différen- 
tiels et autres grandeurs qui en dépendent. Ce moyen est fondé sur les principes que j'ai 
exposés dans le mémoire sur les accélérations de divers ordres'). La considération de 
la dérivée géométrique du paramètre différentiel du premier ordre mène à une for- 
mule très simple pour exprimer, indépendamment de coordonnées, la courbure d'une 
section normale d'une surface. On démontre facilement au moyen de cette formule 
les diverses propriétés de la courbure qu'elle représente, ainsi que celles des nor- 
males infiniment proches. Elle me sert à former l'expression la plus générale de la cour- 
bure d'une section normale en coordonnées curvilignes quelconques, d'où je tire: l'équation 
1) Mémoires de l'Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg. Vll-e série, t. VIII, n*^ 5. 
