Sur les paeamètees dippéeentiels du V et dit 2^ ordres. 
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qni détermine les courbures principales, les équations des lignes de courbure, l'expression 
de la somme des courbures principales ou de la courbure sphérique et celle de leur produit 
ou de la courbure superficielle. On tire de cette dernière, comme cas particulier, les formules 
que Gauss a données dans son mémoire: Disquisitiones générales circa superficies curvas. 
Je fais voir enfin, comment on peut généraliser, en considérant des coordonnées quel- 
conques, les formules remarquables qu'a données M. Borchard pour exprimer par des inté- 
grales triples étendues à tous les éléments de l'espace compris dans l'intérieur d'une sur- 
face fermée, la valeur totale de cette surface, de sa courbure cylindrique et de sa cour- 
bure totale. 
ANALYSE. 
1. Soit, comme dans le mémoire sur les accélérations de divers ordres'''), g,, q.2, q, 
les coordonnées d'un point A, gj, (g^) les surfaces coordonnées, (^oîo)» (îgS,)) (з, ^г) 
les lignes coordonnées, a, ß, y les axes des coordonnées; X, [x, v les cosinus des angles 
ßy, ya, aß, formés par ces axes; abq^, b^q^, cbq^ les composantes suivant les directions de 
ces axes d'un déplacement quelconque du point A \ /г,? \ les paramètres différentiels 
du premier ordre des coordonnées, leurs directions étant celles des normales aux surfaces 
{Ч\\ {l^-> dans le sens des valeurs positives des variations Sç,, Sg,? ^Qo et leur gran- 
deurs étant les rapports de ces variations aux déplacements correspondants du point A suivant 
les directions de ces normales; enfin: o,, O3 les cosinus des angles Çi.^lLj^ (\^^,), ^г^і,^). 
Considérant les coordonnées 7^, cq^, q.^ comme des fonctions arbitraires d'une variable 
indépendante t, que nous prendrons pour le temps employé par le point A à décrire une 
trajectoire quelconque, supposons que pendant un temps infiniment petit le point A se 
déplace avec une vitesse и et désignons par T la force vive due â cette vitesse; nous aurons 
T = l [a^ 5,"' -»- h'^q,'^ -+- c^q^^ h- 2 bclq^q^ 2 ac^(q.^q^' -+- 2 abvq^eq,'] (I) 
et aussi 
où «2/, bq^, cq^ 
*) Mémoires de l'Académie Impériales des sciences de St.-Pétersbourg, Vll-e série, t. VIII, n" 5. 
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