Sur les paramètees différentiels du 1" et du 2'' ordres. 
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ce qui, en vertu de la formule (3), n'est autre chose que 
cos (Pv) = P'v cos (P'v) -t- P"v cos {P"v) 
ou 
Pcos (Pv) — P'cos (P'v) -f- P" cos {P"v) H- 
quel que soit la direction de y; par conséquent la projection des paramètres P sur toute 
droite est égale à la somme des projections sur cette même droite des paramètres P\ P", 
p'"..., ce qui démontre la proposition. On peut généraliser cette proposition, en consi- 
dérant le paramètre différentiel du premier ordre d'une fonction 
F {Ф, cp,' (p", . . .) 
composée d'une manière quelconque d'autres fonctions: ф, ф,' ф^' .... Le paramètre de- 
mandé est la résultante des longueurs égales aux paramètres des fonctions composantes, 
multipliées respectivement par les dérivées partielles: 
dF dF (IF 
d^p ' W fV" ■ ■ , 
ces longueurs étant portées sur les directions des paramètres des fonctions composantes, en 
sens direct ou opposé, suivant que la valeur, par laquelle on multiplie le paramètre, est 
positive ou négative. 
3. Considérons maintenant le paramètre différentiel du second ordre, auquel nous 
donnerons une définition indépendante du système de coordonnées, savoir: Jje paramètre 
différentiel du second ordre dhine fonction ф dont la valeur dépend de la position d'un point A, 
et qui varie continuement, quand ce point reçoit un déplacement quelconque, est le rapport de 
la dilatation cubique au temps correspondant d'un élément de volume, dont cJiaquepoint se déplace 
avec une vitesse égale en grandeur et en direction au paramètre du premier ordre de la fonction ф. 
Pour trouver l'expression du paramètre différentiel du second ordre en coordon- 
nées quelconques, nous nous servirons de la formule, au moyen de laquelle une intégrale 
étendue à tous les éléments d'un volume peut être réduite à une intégrale étendue à tous 
les éléments de la surface de ce volume. — Ordinairement dans cette formule figurent, 
ou les coordonnées rectilignes, rectangulaires, ou les coordonnées polaires. Nous allons 
la démontrer directement pour un système quelconque de coordonnées. 
Soit l'intégrale 
JffFiâv %^ %) ^% ^Зз 
étendue à tous les éléments du volume F. Considérons la fonction F{q^, g,,, q^ comme la 
dérivée partielle par rapport à d'une autre fonction, que nous désignerons simplement 
par f, et prenons l'intégrale par rapport à : nous aurons, en premier lieu, 
fffF{<lv 2.2' Зз^ d% =ff{—fx^f2—fz-'- ■) f% • • 
f^i fil fz-: ■ • • sont les valeurs de f aux points de rencontre de la surface du volume V 
avec la ligne de coordonnées (^^, q^. Soit S cette surface et (g,, g.,, ^з) un de ses points. 
