22 J. SOMOFF, 
І)ф = Рѵ cos {Рѵ) ^—p^-q^. 
Pcos {Рх) = —р , Pcos {Ру) = — 2 , Pcos (Р^) = 1 , Р=Ѵі-і- p"-4-q\ 
D\^Pv,cos{Pv,)-^P,vcos {Р,ѵ) = '^-p^-q^-r (^iïj'_2s(|)(|) - t (%f. 
Or ^2 représentent les projections de l'accélération sur les axes des coor- 
données, par conséquent 
Pv, cos (Рг;,) = _ — _ 5 , 
ce qui réduit l'équation précédente à 
et la formule (20) donne 
P vV\ -i- p"- -^- q''- 
OU 
1 r cos -H 2 s cos a cos ß -4- f cos 
P V^l 
a, ß et Y désignant les angles que la vitesse v fait avec les axes des coordonnées. 
Prenant l'origine des coordonnées au point A et l'axe des 2 positives suivant la 
direction du paramètre P, nous aurons 
~ = rcos^a-4- 2scosasina-bisin 'a. 
p 
Les axes des x et des y, qui se trouvent dans le plan tangent, peuvent être choisis de 
manié] e à rendre s = 0. Cela posé la formule précédente devient 
- = rcos^a-4-^sin^a (^1) 
p ^ ' 
C'est la formule d'Euler. Les valeurs de y et de ^ sont les courbures principales. 
Désignant par ds un élément de la courbe et par | et tj ses projections sur les axes 
des coordonnées, multiplions l'équation (21) par ^ds^ et posons-^ = nous aurons 
Ç = |(rf -b^Y)^) <Ä3) 
pour l'jéquation du paraboloïde osculateur de la surface (ф) au pointé. Ces deux surfaces, 
ayant les mêmes courbures dans les sections normales, on peut remplacer la surface (ф) 
par le paraboloïde dans la recherche des propriété de ces courbures. 
Si l'on considère Ç comme constante, l'équation (22) appartiendra à l'indicatrice. 
